−1 - −1

В математика, −1 это Противоположное число из 1, то есть число, которое при добавлен к 1 дает аддитивный элемент идентичности 0. Это отрицательный целое число больше, чем два отрицательных (-2) и меньше, чем0.

Отрицательный имеет отношение к Тождество Эйлера поскольку е^яπ = −1.

В разработка программного обеспечения, −1 является обычным начальным значением для целых чисел и также используется, чтобы показать, что переменная не содержит полезной информации.

Отрицательный имеет некоторые похожие, но немного отличающиеся свойства от положительного.^[1]

Алгебраические свойства

Умножение числа на -1 равносильно изменению знака числа. Это можно доказать с помощью распределительный закон и аксиома, что 1 - мультипликативное тождество: для Икс настоящий, у нас есть

${ displaystyle x + (- 1) cdot x = 1 cdot x + (- 1) cdot x = (1 + (- 1)) cdot x = 0 cdot x = 0}$

где мы использовали тот факт, что любой реальный Икс умноженное на 0 равно 0, подразумевается отмена из уравнения

${ Displaystyle 0 cdot x = (0 + 0) cdot x = 0 cdot x + 0 cdot x ,}$

0, 1, −1, я, и -я в сложный или же декартова плоскость

Другими словами,

${ Displaystyle х + (- 1) cdot х = 0 ,}$

так что (−1) ·Икс, или -Икс, является арифметическим обратным Икс.

Квадрат −1

В квадрат −1, то есть −1, умноженный на −1, равен 1. Как следствие, произведение двух отрицательных действительных чисел положительно.

Для алгебраического доказательства этого результата начнем с уравнения

${ Displaystyle 0 = -1 cdot 0 = -1 cdot [1 + (- 1)]}$

Первое равенство следует из приведенного выше результата. Второе следует из определения −1 как аддитивного обратного к 1: это именно то число, которое при добавлении к 1 дает 0. Теперь, используя закон распределения, мы видим, что

${ displaystyle 0 = -1 cdot [1 + (- 1)] = - 1 cdot 1 + (- 1) cdot (-1) = - 1 + (- 1) cdot (-1)}$

Второе равенство следует из того, что 1 - мультипликативное тождество. Но теперь добавление 1 к обеим сторонам этого последнего уравнения означает

${ Displaystyle (-1) cdot (-1) = 1}$

Приведенные выше аргументы верны в любом звенеть, концепция абстрактная алгебра обобщающие целые и действительные числа.

Квадратные корни из −1

Хотя нет настоящий квадратные корни из -1, комплексное число я удовлетворяет я² = −1, и поэтому может рассматриваться как квадратный корень -1. Единственное другое комплексное число, квадрат которого равен −1, это -я потому что основная теорема алгебры, у любого ненулевого комплексного числа есть ровно два квадратных корня. В алгебре кватернионы (где основная теорема не применяется), которые содержат комплексную плоскость, уравнение Икс² = −1 имеет бесконечно много решений.

Возведение в степень до отрицательных целых чисел

Возведение в степень ненулевого действительного числа можно продолжить до отрицательные целые числа. Мы даем определение, что Икс⁻¹ = 1/Икс, что означает, что мы определяем возведение числа в степень −1, чтобы иметь тот же эффект, что и взаимный. Затем это определение распространяется на отрицательные целые числа, сохраняя экспоненциальный закон Икс^аИкс^б = Икс^{(а + б)} для реальных чисел а и б.

Возведение в степень до отрицательных целых чисел можно распространить на обратимые элементы кольца, определив Икс⁻¹ как мультипликативный обратный Икс.

−1, которое появляется как верхний индекс функции, не означает взятие (поточечной) обратной величины этой функции, а скорее, обратная функция (или в более общем смысле обратное отношение ) функции. Например, ж⁻¹(Икс) является обратным ж(Икс), или грех⁻¹(Икс) является обозначением арксинус функция. Когда подмножество codomain указывается внутри функции, вместо этого он обозначает прообраз этого подмножества codomain под функцией.

Смотрите также

• Сбалансированный тройной
• Теорема Менелая

Рекомендации