Алгебраическая независимость - Algebraic independence

В абстрактная алгебра, а подмножество ${ displaystyle S}$ из поле ${ displaystyle L}$ является алгебраически независимый через подполе ${ displaystyle K}$ если элементы ${ displaystyle S}$ не удовлетворяют никому не-банальный многочлен уравнение с коэффициентами в ${ displaystyle K}$ .

В частности, одноэлементный набор ${ displaystyle { alpha }}$ алгебраически независима над ${ displaystyle K}$ если и только если ${ displaystyle alpha}$ является трансцендентный над ${ displaystyle K}$ . В общем, все элементы алгебраически независимого множества ${ displaystyle S}$ над ${ displaystyle K}$ по необходимости трансцендентны над ${ displaystyle K}$ , и за все расширения полей над ${ displaystyle K}$ порожденный остальными элементами ${ displaystyle S}$ .

Пример

Два действительные числа ${ displaystyle { sqrt { pi}}}$ и ${ displaystyle 2 pi +1}$ каждый трансцендентные числа: они не являются корнями любого нетривиального многочлена, коэффициенты которого равны рациональное число. Таким образом, каждый из двух одиночные наборы ${ Displaystyle {{ sqrt { pi}} }}$ и ${ displaystyle {2 pi +1 }}$ алгебраически независимы над полем ${ displaystyle mathbb {Q}}$ рациональных чисел.

Однако набор ${ displaystyle {{ sqrt { pi}}, 2 pi +1 }}$ является нет алгебраически независимым над рациональными числами, поскольку нетривиальный многочлен

{ Displaystyle P (х, y) = 2x ^ {2} -y + 1}

равно нулю, когда ${ Displaystyle х = { sqrt { pi}}}$ и ${ Displaystyle у = 2 пи +1}$ .

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя оба ${ displaystyle pi}$ и е известны как трансцендентные, неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ .^[1] На самом деле, даже не известно, ${ displaystyle pi + e}$ иррационально.^[2]Нестеренко в 1996 году доказал, что:

цифры ${ displaystyle pi}$ , ${ displaystyle e ^ { pi}}$ , и Γ (1/4) алгебраически независимы над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ .^[3]
цифры ${ displaystyle pi}$ , ${ Displaystyle е ^ { пи { sqrt {3}}}}$ , и Γ (1/3) алгебраически независимы над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ .
для всех положительных целых чисел ${ displaystyle n}$ , цифры ${ displaystyle pi}$ и ${ displaystyle e ^ { pi { sqrt {n}}}}$ алгебраически независимы над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ .^[4]

Теорема Линдемана – Вейерштрасса

В Теорема Линдемана – Вейерштрасса часто можно использовать для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ . В нем говорится, что всякий раз, когда ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}}$ находятся алгебраические числа которые линейно независимый над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , тогда ${ Displaystyle е ^ { альфа _ {1}}, ldots, е ^ { альфа _ {п}}}$ также алгебраически независимы над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ .

Алгебраические матроиды

Учитывая расширение поля ${ displaystyle L / K}$ что не является алгебраическим, Лемма Цорна может использоваться, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество ${ displaystyle L}$ над ${ displaystyle K}$ . Далее, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковые мощность, известный как степень трансцендентности расширения.

Для каждого набора ${ displaystyle S}$ элементов ${ displaystyle L}$ , алгебраически независимые подмножества ${ displaystyle S}$ удовлетворяют аксиомам, определяющим независимые множества матроид. В этом матроиде ранг набора элементов - это степень его трансцендентности, а плоскость, порожденная набором ${ displaystyle T}$ элементов - это пересечение ${ displaystyle L}$ с полем ${ displaystyle K [T]}$ . Матроид, который может быть создан таким образом, называется алгебраический матроид. Хорошая характеристика алгебраических матроидов не известна, но известно, что некоторые матроиды не являются алгебраическими; самый маленький Вамос матроид.^[5]

Многие конечные матроиды могут быть представлен по матрица над полем ${ displaystyle K}$ , в котором элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов независим, если соответствующий набор столбцов равен линейно независимый. Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, если выбрать неопределенный для каждой строки матрицы и с помощью коэффициентов матрицы в каждом столбце назначить каждому матроидному элементу линейную комбинацию этих трансцендентальных чисел. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление.^[6]

внешняя ссылка

Чен, Джонни. «Алгебраически независимый». MathWorld.

[1] Патрик Моранди (1996). Теория поля и Галуа. Springer. п. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Получено 2008-04-11.

[2] Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Gowers, Timothy (ed.), Принстонский компаньон математики, Princeton University Press, стр. 222

[MP61-3] Манин, Ю. Я.; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел. Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). п. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.

[4] Нестеренко Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914.

[5] Ingleton, A. W .; Майн, Р. А. (1975), "Неалгебраические матроиды существуют", Бюллетень Лондонского математического общества, 7: 144–146, Дои:10.1112 / blms / 7.2.144, МИСТЕР 0369110.

[6] Джоши, К. Д. (1997), Прикладные дискретные конструкции, New Age International, стр. 909, г. ISBN 9788122408263.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]