Арифметическая динамика - Arithmetic dynamics

Арифметическая динамика[1] это область, которая объединяет две области математики, динамические системы и теория чисел. Классически дискретная динамика относится к изучению итерация автокарт комплексная плоскость или же реальная линия. Арифметическая динамика - это изучение теоретико-числовых свойств целое число, рациональный, п-адические и / или алгебраические точки при повторном применении многочлен или же рациональная функция. Основная цель - описать арифметические свойства в терминах лежащих в основе геометрических структур.

Глобальная арифметическая динамика изучение аналогов классических диофантова геометрия в случае дискретных динамических систем, а локальная арифметическая динамика, также называемый p-адическая или неархимедова динамика, является аналогом классической динамики, в которой комплексные числа заменяются C по п-адическое поле, такое как Qп или же Cп и изучает хаотическое поведение и Фату и Юля наборы.

Следующая таблица описывает приблизительное соответствие между диофантовыми уравнениями, особенно абелевы разновидности, и динамические системы:

Диофантовы уравненияДинамические системы
Рациональные и целые точки на разнообразииРациональные и целые точки на орбите
Точки конечного порядка на абелевом многообразииПредпериодические точки рациональной функции

Определения и обозначения из дискретной динамики

Позволять S быть набором и пусть F : S → S быть картой из S себе. Повторение F с собой п раз обозначается

Точка п ∈ S является периодический если F(п)(п) = п для некоторых п > 1.

Дело в том предпериодический если F(k)(п) является периодическим для некоторых k ≥ 1.

(Вперед) орбита п это набор

Таким образом п препериодичен тогда и только тогда, когда его орбита ОF(п) конечно.

Теоретико-числовые свойства препериодических точек

Позволять F(Икс) - рациональная функция не ниже второй степени с коэффициентами в Q. Теорема Норткотта[2] Говорит, что F имеет только конечное количество Q-рациональные препериодические точки, т. е. F имеет только конечное число препериодических точек в п1(Q). Гипотеза о равномерной ограниченности[3] Мортона и Сильверман говорит, что количество предпериодических точек F в п1(Q) ограничена константой, зависящей только от степени F.

В общем, пусть F : пN → пN - морфизм степени не меньше двух, определенный над числовым полем K. Теорема Норткотта гласит, что F имеет только конечное число препериодических точек впN(K), а общая гипотеза о равномерной ограниченности утверждает, что количество предпериодических точек впN(K) может быть ограничено только в терминах N, степень F, а степень K над Q.

Гипотеза о равномерной ограниченности не известна даже для квадратичных многочленов. Fc(Икс) = Икс2 + c над рациональными числами Q. В этом случае известно, что Fc(Икс) не может иметь периодических точек четвертого периода,[4] пять,[5] или шесть,[6] хотя результат за шестой период зависит от действительности гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера. Poonen предположил, что Fc(Икс) не может иметь рациональных периодических точек любого периода строго больше трех.[7]

Целые точки на орбитах

Орбита рационального отображения может содержать бесконечно много целых чисел. Например, если F(Икс) является многочленом с целыми коэффициентами и если а - целое число, то ясно, что вся орбита ОF(а) состоит из целых чисел. Аналогично, если F(Икс) является рациональным отображением, и некоторые повторяют F(п)(Икс) - многочлен с целыми коэффициентами, то каждый п-я запись на орбите - целое число. Примером этого явления является карта F(Икс) = Икс−d, вторая итерация которого является многочленом. Оказывается, это единственный способ, которым орбита может содержать бесконечно много целых чисел.

Теорема.[8] Позволять F(Икс) ∈ Q(Икс) - рациональная функция степени не менее двух, и предположим, что нет итерации[9] из F является многочленом. Позволять а ∈ Q. Тогда орбита ОF(а) содержит только конечное число целых чисел.

Динамически определенные точки, лежащие на подмногообразиях

Есть общие предположения, связанные с Шоу Чжан[10]и другие, касающиеся подмногообразий, содержащих бесконечно много периодических точек или пересекающих орбиту в бесконечно многих точках. Это динамические аналоги, соответственно, Гипотеза Манина – Мамфорда, доказанный Рейно, и Гипотеза Морделла – Лэнга, доказано Опалубки. Следующие гипотезы иллюстрируют общую теорию в случае, когда подмногообразие является кривой.

Гипотеза. Позволять F : пN → пN быть морфизмом и пусть C ⊂ пN неприводимая алгебраическая кривая. Предположим, что есть точка п ∈ пN такой, что C содержит бесконечно много точек на орбите ОF(п). потом C является периодическим для F в том смысле, что есть некоторая итерация F(k) из F что отображает C себе.

п-адическая динамика

Поле п-адическая (или неархимедова) динамика изучение классических динамических вопросов над полем K что является полным относительно неархимедовой абсолютной величины. Примеры таких полей - это поле п-adic рациональные Qп и завершение его алгебраического замыкания Cп. Метрика на K а стандартное определение равностепенной непрерывности приводит к обычному определению Фату и Юля наборы рациональной карты F(Икс) ∈ K(Икс). Между сложной и неархимедовой теориями много общего, но есть и много различий. Поразительное отличие состоит в том, что в неархимедовой установке множество Фату всегда непусто, но множество Жюлиа может быть пустым. Это обратное тому, что верно для комплексных чисел. Неархимедова динамика распространена на Пространство Берковича,[11] которое представляет собой компактное связное пространство, содержащее полностью несвязное нелокально компактное поле Cп.

Обобщения

Существуют естественные обобщения арифметической динамики, в которых Q и Qп заменяются числовыми полями и их п-адические доработки. Еще одно естественное обобщение - замена собственных карт п1 или же пN с собственными отображениями (морфизмами) V → V другого аффинного или проективные многообразия.

Другие области, в которых теория чисел и динамика взаимодействуют

Есть много других проблем теоретического характера, которые возникают в контексте динамических систем, в том числе:

В Справочный список по арифметической динамике дает обширный список статей и книг по широкому кругу арифметических динамических тем.

Смотрите также

Примечания и ссылки

  1. ^ Сильверман, Джозеф Х. (2007). Арифметика динамических систем. Тексты для выпускников по математике. 241. Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007/978-0-387-69904-2. ISBN  978-0-387-69903-5. МИСТЕР  2316407.
  2. ^ Норткотт, Дуглас Джеффри (1950). «Периодические точки на алгебраическом многообразии». Анналы математики. 51 (1): 167–177. Дои:10.2307/1969504. JSTOR  1969504. МИСТЕР  0034607.
  3. ^ Мортон, Патрик; Сильверман, Джозеф Х. (1994). «Рациональные периодические точки рациональных функций». Уведомления о международных математических исследованиях. 1994 (2): 97–110. Дои:10.1155 / S1073792894000127. МИСТЕР  1264933.
  4. ^ Мортон, Патрик (1992). «Арифметические свойства периодических точек квадратичных отображений». Acta Arithmetica. 62 (4): 343–372. Дои:10.4064 / aa-62-4-343-372. МИСТЕР  1199627.
  5. ^ Флинн, Юджин В .; Пунен, Бьорн; Шефер, Эдвард Ф. (1997). «Циклы квадратичных многочленов и рациональные точки на кривой рода 2». Математический журнал герцога. 90 (3): 435–463. arXiv:математика / 9508211. Дои:10.1215 / S0012-7094-97-09011-6. МИСТЕР  1480542.
  6. ^ Столл, Майкл (2008). «Рациональные 6-циклы при итерации квадратичных многочленов». Журнал вычислений и математики LMS. 11: 367–380. arXiv:0803.2836. Bibcode:2008arXiv0803.2836S. Дои:10.1112 / S1461157000000644. МИСТЕР  2465796.
  7. ^ Пунен, Бьорн (1998). «Классификация рациональных препериодических точек квадратичных многочленов над Q: изощренная догадка ". Mathematische Zeitschrift. 228 (1): 11–29. Дои:10.1007 / PL00004405. МИСТЕР  1617987.
  8. ^ Сильверман, Джозеф Х. (1993). «Целочисленные точки, диофантово приближение и итерация рациональных отображений». Математический журнал герцога. 71 (3): 793–829. Дои:10.1215 / S0012-7094-93-07129-3. МИСТЕР  1240603.
  9. ^ Элементарная теорема гласит, что если F(Икс) ∈ C(Икс) и если какая-то итерация F является многочленом, то уже вторая итерация является многочленом.
  10. ^ Чжан, Шоу-Ву (2006). «Распределения в алгебраической динамике». В Яу, Шинг Тунг (ред.). Дифференциальная геометрия: дань уважения профессору С.-С. Черн. Обзоры по дифференциальной геометрии. 10. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. С. 381–430. Дои:10.4310 / SDG.2005.v10.n1.a9. ISBN  978-1-57146-116-2. МИСТЕР  2408228.
  11. ^ Рамели, Роберт; Бейкер, Мэтью (2010). Теория потенциала и динамика на проективной прямой Берковича. Математические обзоры и монографии. 159. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. arXiv:математика / 0407433. Дои:10.1090 / Surv / 159. ISBN  978-0-8218-4924-8. МИСТЕР  2599526.
  12. ^ Гранвиль, Эндрю; Рудник, Зеев, ред. (2007). Равное распределение в теории чисел, введение. Наука НАТО II: математика, физика и химия. 237. Дордрехт: Springer, Нидерланды. Дои:10.1007/978-1-4020-5404-4. ISBN  978-1-4020-5403-7. МИСТЕР  2290490.
  13. ^ Сидоров, Никита (2003). «Арифметическая динамика». В Безуглом, Сергей; Коляда, Сергей (ред.). Разделы динамики и эргодической теории. Обзорные статьи и мини-курсы, представленные на международной конференции и американо-украинском семинаре по динамическим системам и эргодической теории, Кацивели, Украина, 21–30 августа 2000 г.. Лондон. Математика. Soc. Лект. Примечание Сер. 310. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 145–189. Дои:10.1017 / CBO9780511546716.010. ISBN  0-521-53365-1. МИСТЕР  2052279. Zbl  1051.37007.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка