График кривой бланманже.
В математика, то кривая бланманже это самоаффинная кривая можно построить по средней точке. Он также известен как Кривая Такаги, после Тейджи Такаги кто описал это в 1901 году, или как Кривая Такаги – Ландсберга, обобщение кривой имени Такаги и Георг Ландсберг. Название бланманже происходит от его сходства с пудинг с таким же названием. Это частный случай более общего кривая де Рама; смотрите также фрактальная кривая.
Определение
Функция бланманже определена на единичный интервал к
![{m blanc} (x) = sum_ {n = 0} ^ infty {s (2 ^ {n} x) над 2 ^ n},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce03bb9afb3109d9a193867ce187b0a289aba96)
куда
это треугольная волна, определяется
,то есть,
это расстояние от Икс до ближайшего целое число.
Кривая Такаги – Ландсберга представляет собой небольшое обобщение, данное
![T_w (x) = sum_ {n = 0} ^ infty w ^ n s (2 ^ {n} x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58c24f7d4be131ce35e9b68b5675aabf887026c)
для параметра
; таким образом, кривая Бланманже имеет место
. Значение
известен как Параметр Херста.
Функцию можно распространить на всю реальную линию: применение приведенного выше определения показывает, что функция повторяется на каждом единичном интервале.
Функцию также можно определить серией в разделе Разложение в ряд Фурье.
Определение функционального уравнения
Периодическая версия кривой Такаги также может быть определена как единственное ограниченное решение
к функциональному уравнению
.
Действительно, функция Бланманже
заведомо ограничен и решает функциональное уравнение, поскольку
![{displaystyle T_ {w} (x): = sum _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) = s (x) + sum _ {n = 1} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5dc975bf5d30c9d527062fedba94c0856d35d0c)
.
Наоборот, если
является ограниченным решением функционального уравнения, повторяя равенство, имеющееся для любого N
, за ![{displaystyle N o infty,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071a87e26bf1c08e37234ca32087f6c88fe66612)
откуда
. Между прочим, приведенные выше функциональные уравнения имеют бесконечно много непрерывных неограниченных решений, например![{displaystyle T_ {w} (x) + c | x | ^ {- log _ {2} w}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924138339111fcdc21ff2eb4d952fb545cff869d)
Графическое построение
Кривая Бланманже может быть визуально построена из треугольных волновых функций, если бесконечная сумма аппроксимирована конечными суммами первых нескольких членов. На рисунке ниже к кривой на каждом этапе добавляются все более мелкие треугольные функции (показаны красным).
Характеристики
Конвергенция и преемственность
Бесконечная сумма, определяющая
сходится абсолютно для всех
: поскольку
для всех
, у нас есть:
если
.
Следовательно, кривая Такаги параметра
определяется на единичном интервале (или
) если
.
Функция Такаги параметра
является непрерывный. Действительно, функции
определяется частичными суммами
непрерывны и сходятся равномерно к
, поскольку:
для всех x, когда
.
Это значение можно сделать настолько маленьким, насколько захотим, выбрав достаточно большое значение п. Поэтому по равномерная предельная теорема,
непрерывно, если |ш|<1.
Субаддитивность
Поскольку абсолютное значение равно субаддитивная функция так функция
, и его расширения
; поскольку положительные линейные комбинации и точечные пределы субаддитивных функций субаддитивны, функция Такаги субаддитивна для любого значения параметра
.
Частный случай параболы
За
, получаем парабола: построение параболы по срединному делению было описано Архимед.
Дифференцируемость
Для значений параметра
функция Такаги
дифференцируема в классическом смысле при любом
что не диадический рациональный. А именно, выводом под знаком ряда для любого недиадического рационального
можно найти
![{displaystyle T_ {w} '(x) = sum _ {n = 0} ^ {infty} (2w) ^ {n}, (- 1) ^ {x _ {- n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6223711638073d64dd434bec8f56e76b3a957756)
куда
это последовательность двоичных цифр в база 2 расширение
, то есть,
. Более того, для этих значений
функция
является Липшиц постоянного
. В частности, за особую ценность
можно найти, для любого недиадического рационального
, согласно упомянутому ![{displaystyle T_ {1/4} (x) = 2x (1-x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9ef8de44f008c79952f07a9b41f35c37c213f7)
За
функция бланманже
это из ограниченная вариация на непустом открытом множестве; оно даже не локально липшицево, но квазилипшицево, действительно, допускает функцию
как модуль непрерывности .
Разложение в ряд Фурье
Функция Такаги-Ландсберга допускает абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье:
![T_w (x) = sum_ {m = 0} ^ infty a_mcos (2pi m x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fa0470ae9508fb346afe7218e68980e380ce48)
с
и для ![mgeq 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0f3243e9d7f06bee548558bf20aaa9b5263d3f)
![{displaystyle a_ {m}: = - {frac {2} {pi ^ {2} m ^ {2}}} (4w) ^ {u (m)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933fa72d7e7ee94f6a4d3ef038a27eb30f8754e0)
куда
это максимальная мощность
что разделяет
.Действительно, вышеуказанное треугольная волна
имеет абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье
![s (x) = frac {1} {4} -frac {2} {pi ^ 2} sum_ {k = 0} ^ inftyfrac {1} {(2k + 1) ^ 2} cos ig (2pi (2k + 1 ) х ig).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86eee7d1e0852e45844e72c3eeb6fee17cbe3526)
Абсолютной сходимостью можно переупорядочить соответствующий двойной ряд для
:
![T_w (x): = sum_ {n = 0} ^ infty w ^ ns (2 ^ nx) = frac {1} {4} sum_ {n = 0} ^ infty w ^ n -frac {2} {pi ^ 2 } sum_ {n = 0} ^ inftysum_ {k = 0} ^ infty frac {w ^ n} {(2k + 1) ^ 2} cos ig (2pi 2 ^ n (2k + 1) x ig),:](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da62dc63feb4db6e10f05aff357db094d669f5ac)
положить
дает указанный выше ряд Фурье для ![{displaystyle T_ {w} (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716adafebc9436cf6c1e5d4f5cf1d530e249e57e)
Самоподобие
В рекурсивное определение позволяет моноид автосимметрии кривой. Этот моноид задается двумя образующими, грамм и р, который действовать на кривой (ограниченной единичным интервалом) как
![[g cdot T_w] (x) = T_wleft (frac {x} {2} ight) = frac {x} {2} + w T_w (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4aa0faa1fe6ead6a00f335e183f8d8d1c7d04f)
и
.
Тогда общий элемент моноида имеет вид
для некоторых целых чисел
Этот действует на кривой как линейная функция:
для некоторых констант а, б и c. Поскольку действие линейно, его можно описать в терминах векторное пространство, с базис векторного пространства: