Уравнение Борна – Ланде - Born–Landé equation

В Уравнение Борна – Ланде это средство вычисления энергия решетки кристаллического ионное соединение. В 1918 г.^[1] Макс Борн и Альфред Ланде предположил, что энергия решетки может быть получена из электростатический потенциал ионной решетки и член потенциальной энергии отталкивания.^[2]

${displaystyle E = - {frac {N_ {A} Mz ^ {+} z ^ {-} e ^ {2}} {4pi varepsilon _ {0} r_ {0}}} left (1- {frac {1} {ночь)}$

куда:

• N_А = Константа Авогадро;
• M = Постоянная Маделунга, относящиеся к геометрии кристалла;
• z⁺ = числовое число заряда катиона
• z⁻ = числовое число заряда аниона
• е = элементарный заряд, 1.6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

  4πε₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/ (Дж · м)

• р₀ = расстояние до ближайшего иона
• п = Показатель Борна, обычно число от 5 до 12, определяется экспериментально путем измерения сжимаемость твердого тела, или производное теоретически.^[3]

Вывод

Ионная решетка моделируется как сборка твердых упругих сфер, которые сжимаются вместе за счет взаимного притяжения электростатических зарядов к ионам. Они достигают наблюдаемого равновесного расстояния друг от друга из-за уравновешивающего отталкивания на короткие расстояния.

Электростатический потенциал

Электростатическая потенциальная энергия, E_пара, между парой ионов равного и противоположного заряда составляет:

${displaystyle E_ {ext {pair}} = - {frac {z ^ {2} e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0} r}}}$

куда

z = величина заряда на одном ионе

е = элементарный заряд, 1,6022×10⁻¹⁹ C

ε₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

4πε₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/ (Дж · м)

р = расстояние, разделяющее ионные центры

Для простой решетки, состоящей из ионов с равным и противоположным зарядом в соотношении 1: 1, взаимодействия между одним ионом и всеми другими ионами решетки необходимо суммировать для расчета E_M, иногда называемый Маделунг или энергия решетки:

${displaystyle E_ {ext {M}} = - {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r}}}$

куда

M = Постоянная Маделунга, что связано с геометрией кристалла

р = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

Отталкивающий термин

Борн и Ланде предположили, что отталкивающее взаимодействие между ионами решетки будет пропорционально 1/р^п так что член энергии отталкивания, E_р, будет выражено:

${displaystyle E_ {ext {R}} = {гидроразрыв {B} {r ^ {n}}}}$

куда

B = постоянное масштабирование силы отталкивающего взаимодействия

р = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

п = Показатель Борна, число от 5 до 12, выражающее крутизну отталкивающего барьера

Общая энергия

Таким образом, полная интенсивная потенциальная энергия иона в решетке может быть выражена как сумма потенциалов Маделунга и отталкивания:

${displaystyle E (r) = - {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r}} + {frac {B} {r ^ {n}}}}$

Минимизация этой энергии по отношению к р дает равновесное разделение р₀ в терминах неизвестной постоянной B:

${displaystyle {egin {выравнивается} {frac {mathrm {d} E} {mathrm {d} r}} & = {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r ^ {2}}} - {frac {nB} {r ^ {n + 1}}} 0 & = {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r_ {0} ^ {2}}} - {frac {nB} {r_ {0} ^ {n + 1}}} r_ {0} & = left ({frac {4pi epsilon _ {0} nB} {z ^ {2 } e ^ {2} M}} ight) ^ {frac {1} {n-1}} B & = {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} n} } r_ {0} ^ {n-1} конец {выровнено}}}$

Оценивая минимальную интенсивную потенциальную энергию и подставляя выражение для B с точки зрения р₀ дает уравнение Борна – Ланде:

${displaystyle E (r_ {0}) = - {frac {Mz ^ {2} e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0} r_ {0}}} left (1- {frac {1} {n} } ight)}$

Расчетные энергии решетки

Уравнение Борна – Ланде дает представление об энергии решетки системы.^[2]

Сложный	Рассчитано	Экспериментальный
NaCl	−756 кДж / моль	−787 кДж / моль
LiF	−1007 кДж / моль	−1046 кДж / моль
CaCl2	−2170 кДж / моль	−2255 кДж / моль

Родился экспонент

Показатель Борна обычно составляет от 5 до 12. Приблизительные экспериментальные значения перечислены ниже:^[4]

Ионная конфигурация	Он	Ne	Ar, Cu+	Kr, Ag+	Xe, Au+
п	5	7	9	10	12

Смотрите также

• Уравнение капустинского
• Уравнение Борна – Майера

Рекомендации