Лемма Бернсайдса - Википедия - Burnsides lemma

Лемма Бернсайда, иногда также называемый Счетная теорема Бернсайда, то Лемма Коши – Фробениуса, теорема счета орбит, или же Лемма, не принадлежащая Бернсайду., является результатом теория групп что часто бывает полезно при учете симметрия при подсчете математических объектов. Его различные эпонимы основаны на Уильям Бернсайд, Георгий Полиа, Огюстен Луи Коши, и Фердинанд Георг Фробениус. Результат не из-за самого Бернсайда, который просто цитирует его в своей книге «О теории групп конечного порядка», вместо этого приписывая Фробениус (1887).^[1]

Далее пусть грамм быть конечный группа который действует на набор Икс. Для каждого грамм в грамм позволять Икс^грамм обозначим множество элементы в Икс которые фиксируется грамм (также говорят, что осталось инвариантный к грамм), т.е. Икс^грамм = { Икс ∈ Икс | грамм.Икс = Икс }. Лемма Бернсайда утверждает следующую формулу для количества орбиты, обозначенный |Икс/грамм|:^[2]

{ displaystyle | X / G | = { frac {1} {| G |}} sum _ {g in G} | X ^ {g} |.}

Таким образом, количество орбит (a натуральное число или же +∞ ) равно средний количество точек, фиксируемых элементом грамм (которое также является натуральным числом или бесконечностью). Если грамм бесконечно, деление на |грамм| не может быть четко определен; в этом случае следующее утверждение в кардинальная арифметика держит:

{ displaystyle | G || X / G | = sum _ {g in G} | X ^ {g} |.}

Пример приложения

Количество вращательно различимых раскрасок граней куб с помощью трех цветов можно определить по этой формуле следующим образом.

Позволять Икс быть набором из 3⁶ возможные комбинации цветов граней, которые можно применить к кубу в одной конкретной ориентации, и позволить группе вращения грамм куба действовать на Икс естественным образом. Тогда два элемента Икс принадлежат к одной и той же орбите именно тогда, когда одно является просто вращением другого. Таким образом, количество различающихся вращением раскрасок совпадает с количеством орбит и может быть определено путем подсчета размеров фиксированные наборы для 24 элементов грамм.

Куб с цветными гранями

один элемент идентичности, который оставляет все 3⁶ элементы Икс без изменений
шесть поворотов лица на 90 градусов, каждый из которых оставляет 3³ элементов Икс без изменений
три поворота лица на 180 градусов, каждый из которых оставляет 3⁴ элементов Икс без изменений
восемь вращений вершин на 120 градусов, каждое из которых оставляет 3² элементов Икс без изменений
шесть поворотов краев на 180 градусов, каждый из которых оставляет 3³ элементов Икс без изменений

Подробное изучение этих автоморфизмов можно найтиздесь.

Таким образом, средний размер исправления

{ displaystyle { frac {1} {24}} left (3 ^ {6} +6 cdot 3 ^ {3} +3 cdot 3 ^ {4} +8 cdot 3 ^ {2} +6 cdot 3 ^ {3} right) = 57.}

Следовательно, существует 57 различных раскрасок граней куба в три цвета. В общем, количество вращательно различных раскрасок граней куба в п цвета даны

{ displaystyle { frac {1} {24}} left (n ^ {6} + 3n ^ {4} + 12n ^ {3} + 8n ^ {2} right).}

Доказательство

Первым шагом в доказательстве леммы является перевыражение суммы по элементам группы грамм ∈ грамм как эквивалентную сумму по множеству элементов Икс ∈ Икс:

{ displaystyle sum _ {g in G} | X ^ {g} | = | {(g, x) in G times X mid g cdot x = x } | = sum _ { x in X} | G_ {x} |.}

(Здесь Икс^грамм = {Икс ∈ Икс | g.x = Икс} - это подмножество всех точек Икс фиксируется грамм ∈ грамм, в то время как грамм_Икс = {грамм ∈ грамм | g.x = Икс} это подгруппа стабилизатора группы G, фиксирующей точку Икс ∈ Икс.)

В теорема о стабилизаторе орбиты говорит, что есть естественный биекция для каждого Икс ∈ Икс между орбитой Икс, G.x = {g.x | грамм ∈ грамм} ⊆ Икс, а множество левых смежных классов G / G_Икс своей стабилизирующей подгруппы грамм_Икс. С Теорема Лагранжа Из этого следует

{ Displaystyle | G cdot x | = [G ,: , G_ {x}] = | G | / | G_ {x} |.}

Наша сумма по множеству Икс поэтому может быть переписан как

{ displaystyle sum _ {x in X} | G_ {x} | = sum _ {x in X} { frac {| G |} {| G cdot x |}} = | G | sum _ {x in X} { frac {1} {| G cdot x |}}.}

Наконец, обратите внимание, что Икс является дизъюнктным объединением всех его орбит в X / G, что означает сумму более Икс могут быть разбиты на отдельные суммы по каждой отдельной орбите.

{ displaystyle sum _ {x in X} { frac {1} {| G cdot x |}} = sum _ {A in X / G} sum _ {x in A} { гидроразрыв {1} {| A |}} = sum _ {A in X / G} 1 = | X / G |.}

Собирая все вместе, мы получаем желаемый результат:

{ displaystyle sum _ {g in G} | X ^ {g} | = | G | cdot | X / G |.}

Это доказательство также является доказательством уравнение класса формула, просто приняв действие грамм на себя (Икс = грамм) быть сопряжением, грамм.Икс = gxg⁻¹, в таком случае грамм_Икс инстанции к централизатору Икс в грамм.

История: лемма, не принадлежащая Бернсайду

Уильям Бернсайд сформулировал и доказал эту лемму, приписав ее Фробениус 1887 в его книге о конечных группах 1897 года. Но еще до Фробениуса формула была известна Коши в 1845 году. Фактически, лемма была, по-видимому, настолько хорошо известна, что Бернсайд просто не стал приписывать ее Коши. Следовательно, эту лемму иногда называют лемма, не принадлежащая Бернсайду.^[3] (смотрите также Закон Стиглера эпонимии ). Это менее неоднозначно, чем может показаться: Бернсайд внес в эту область множество лемм.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Перечислимая теорема Полиа

Примечания

^ Бернсайд 1897, §119
^ Ротман 1995, Глава 3
^ Нойман 1979