Центральный биномиальный коэффициент - Central binomial coefficient

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Треугольник Паскаля, строки с 0 по 7. Числа в центральном столбце - это центральные биномиальные коэффициенты.

В математика в пth центральный биномиальный коэффициент особенный биномиальный коэффициент

${ displaystyle {2n choose n} = { frac {(2n)!} {(n!) ^ {2}}} { text {для всех}} n geq 0.}$

Их называют центральными, так как они появляются ровно посередине четных строк в Треугольник Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов, начиная с п = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ...; (последовательность A000984 в OEIS )

Характеристики

Центральные биномиальные коэффициенты удовлетворяют рекуррентности

${ displaystyle { binom {2 (n + 1)} {n + 1}} = { frac {4n + 2} {n + 1}} cdot { binom {2n} {n}}.}$

С ${ displaystyle textstyle { binom {-1/2} {n + 1}} = { frac {-1 / 2-n} {n + 1}} cdot { binom {-1/2} { n}}}$ мы нашли

${ displaystyle { binom {2n} {n}} = (- 1) ^ {n} 4 ^ {n} { binom {-1/2} {n}}}$

Вместе с биномиальный ряд получаем производящая функция

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-4x}}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {2n} {n}} x ^ {n} = 1 + 2x + 6x ^ {2} + 20x ^ {3} + 70x ^ {4} + 252x ^ {5} + cdots}$

и экспоненциальная производящая функция

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {2n} {n}} { frac {x ^ {n}} {n!}} = e ^ {2x} I_ {0 } (2x),}$

куда я₀ это модифицированная функция Бесселя первого рода.^[1]

В Уоллис продукт можно записать в асимптотике для центрального биномиального коэффициента:

${ displaystyle {2n choose n} sim { frac {4 ^ {n}} { sqrt { pi n}}}.}$

Последнее также легко установить с помощью Формула Стирлинга. С другой стороны, его также можно использовать как средство для определения постоянной ${ displaystyle { sqrt {2 pi}}}$ перед формулой Стирлинга, для сравнения.

Простые оценки, которые сразу следуют из ${ displaystyle 4 ^ {n} = (1 + 1) ^ {2n} = sum _ {k = 0} ^ {2n} { binom {2n} {k}}}$ находятся

${ displaystyle { frac {4 ^ {n}} {2n + 1}} leq {2n choose n} leq 4 ^ {n} { text {для всех}} n geq 1}$

Некоторые лучшие границы^[2]

${ displaystyle { frac {4 ^ {n}} { sqrt {4n}}} leq {2n choose n} leq { frac {4 ^ {n}} { sqrt {3n + 1}} } { text {для всех}} n geq 1}$

и, если требуется больше точности,

${ displaystyle {2n choose n} = { frac {4 ^ {n}} { sqrt { pi n}}} left (1 - { frac {c_ {n}} {n}} right ) { text {where}} { frac {1} {9}}$ для всех ${ Displaystyle п geq 1.}$^{[нужна цитата ]}

Единственный центральный биномиальный коэффициент, который является нечетным, равен 1. Точнее говоря, количество множителей 2 в ${ displaystyle { binom {2n} {n}}}$ равно количеству единиц в двоичный представление п.^[3]

Посредством Гипотеза эрдёша о бесквадратности, доказано в 1996 г., нет центрального биномиального коэффициента с п > 4 это свободный от квадратов.

Центральный биномиальный коэффициент ${ displaystyle {2n choose n}}$ равна сумме квадратов элементов в строке п треугольника Паскаля.^[1]

Связанные последовательности

Тесно связанные Каталонские числа C_п даны:

${ displaystyle C_ {n} = { frac {1} {n + 1}} {2n choose n} = {2n choose n} - {2n choose n + 1} { text {для всех}} п geq 0.}$

Небольшое обобщение центральных биномиальных коэффициентов состоит в том, чтобы принять их как${ Displaystyle { frac { Gamma (2n + 1)} { Gamma (n + 1) ^ {2}}} = { frac {1} {n mathrm {B} (n + 1, n) }}}$, с соответствующими действительными числами п, куда ${ Displaystyle Gamma (х)}$ это гамма-функция и ${ Displaystyle mathrm {B} (х, у)}$ это бета-функция.

В силы двух которые делят центральные биномиальные коэффициенты, даются Последовательность Гулда, чей пth элемент - это количество нечетных целых чисел в строке п треугольника Паскаля.

Рекомендации

• Коши, Томас (2008), Каталонские номера с приложениями, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19533-454-8.

внешняя ссылка

• Центральный биномиальный коэффициент в PlanetMath.
• Биномиальный коэффициент в PlanetMath.
• Треугольник Паскаля в PlanetMath.
• Каталонские числа в PlanetMath.

В этой статье использованы материалы из Центральный биномиальный коэффициент на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.