Критерий Эйлера - Википедия - Eulers criterion

В теория чисел, Критерий Эйлера формула для определения того, целое число это квадратичный вычет по модулю а основной. Именно так,

Позволять п быть странный премьер и а быть целым числом совмещать к п. потом^[1]^[2]^[3]

{ displaystyle a ^ { tfrac {p-1} {2}} Equiv { begin {cases} ; ; , 1 { pmod {p}} & { text {, если есть целое число} } x { text {такой, что}} a Equiv x ^ {2} { pmod {p}}, - 1 { pmod {p}} & { text {, если такого целого числа нет.} } end {case}}}

Критерий Эйлера можно кратко переформулировать, используя Символ Лежандра:^[4]

{ displaystyle left ({ frac {a} {p}} right) Equiv a ^ { tfrac {p-1} {2}} { pmod {p}}.}

Этот критерий впервые появился в статье 1748 г. Леонард Эйлер.^[5]^[6]

Доказательство

Доказательство использует тот факт, что классы вычетов по модулю простого числа являются поле. См. Статью основное поле Больше подробностей.

Поскольку модуль простой, Теорема Лагранжа применяется: многочлен степени $k$ может иметь самое большее $k$ корни. Особенно, $Икс 2 \equiv а (мод п)$ имеет не более 2 решений для каждого $а$ . Отсюда сразу следует, что кроме 0 есть не менее $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} п - 1 / 2$ различные квадратичные вычеты по модулю $п$ : каждый из $п - 1$ возможные значения $Икс$ могут сопровождаться только одним другим, чтобы получить одинаковый остаток.

Фактически, ${ displaystyle (p-x) ^ {2} Equiv x ^ {2} { pmod {p}}.}$ Это потому что ${ displaystyle (p-x) ^ {2} Equiv p ^ {2} - {2} {x} {p} + x ^ {2} Equiv x ^ {2} { pmod {p}}.}$ Итак ${ displaystyle { tfrac {p-1} {2}}}$ различные квадратичные вычеты: ${ displaystyle 1 ^ {2}, 2 ^ {2}, ..., ({ tfrac {p-1} {2}}) ^ {2} { pmod {p}}.}$

В качестве $а$ взаимно прост с $п$ , Маленькая теорема Ферма Говорит, что

{ Displaystyle а ^ {р-1} эквив 1 { pmod {p}},}

который можно записать как

{ displaystyle left (a ^ { tfrac {p-1} {2}} - 1 right) left (a ^ { tfrac {p-1} {2}} + 1 right) эквив 0 { pmod {p}}.}

Поскольку целые числа mod $п$ сформировать поле для каждого $а$ , один или другой из этих факторов должен быть равен нулю.

Сейчас если $а$ квадратичный вычет, $а \equiv Икс 2$ ,

{ Displaystyle а ^ { tfrac {п-1} {2}} эквив {(х ^ {2})} ^ { tfrac {р-1} {2}} эквив х ^ {р-1} Equiv 1 { pmod {p}}.}

Таким образом, каждый квадратичный вычет (mod $п$ ) делает первый множитель равным нулю.

Снова применяя теорему Лагранжа, заметим, что может быть не более $п - 1 / 2$ ценности $а$ которые делают первый фактор равным нулю. Но, как мы отметили в начале, есть как минимум $п - 1 / 2$ различные квадратичные вычеты (mod $п$ ) (кроме 0). Следовательно, именно эти классы вычетов делают первый множитель нулевым. Другой $п - 1 / 2$ классы вычетов, невычеты, должны сделать второй множитель равным нулю, иначе они не удовлетворяли бы малой теореме Ферма. Это критерий Эйлера.

Альтернативное доказательство

Это доказательство использует только тот факт, что любое сравнение ${ Displaystyle кх эквив л ! ! ! { pmod {p}}}$ имеет уникальный (по модулю ${ displaystyle p}$ ) решение ${ displaystyle x}$ при условии ${ displaystyle p}$ не разделяет ${ displaystyle k}$ . (Это правда, потому что как ${ displaystyle x}$ пробегает все ненулевые остатки по модулю ${ displaystyle p}$ без повторов, так делает ${ displaystyle kx}$ - если у нас есть ${ Displaystyle kx_ {1} эквив kx_ {2} { pmod {p}}}$ , тогда ${ displaystyle p | k (x_ {1} -x_ {2})}$ , следовательно ${ displaystyle p | (x_ {1} -x_ {2})}$ , но ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ не конгруэнтны по модулю ${ displaystyle p}$ .) Из этого факта следует, что все ненулевые остатки по модулю ${ displaystyle p}$ квадрат которого не совпадает с ${ displaystyle a}$ можно сгруппировать в неупорядоченные пары ${ Displaystyle (х, у)}$ согласно правилу, что произведение членов каждой пары конгруэнтно ${ displaystyle a}$ по модулю ${ displaystyle p}$ (поскольку по этому факту для каждого ${ displaystyle y}$ мы можем найти такой ${ displaystyle x}$ , однозначно и наоборот, и они будут отличаться друг от друга, если ${ displaystyle y ^ {2}}$ не соответствует ${ displaystyle a}$ ). Если ${ displaystyle a}$ является квадратичным невычетом, это просто перегруппировка всех ${ displaystyle p-1}$ ненулевые вычеты в ${ Displaystyle (п-1) / 2}$ пары, отсюда заключаем, что ${ displaystyle 1 cdot 2 cdot ... cdot (p-1) Equiv a ^ { frac {p-1} {2}} ! ! ! { pmod {p}}}$ . Если ${ displaystyle a}$ - квадратичный вычет, ровно два остатка не попали в парные, ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle -r}$ такой, что ${ Displaystyle г ^ {2} эквив а ! ! ! { pmod {p}}}$ . Если мы соединим эти два отсутствующих остатка вместе, их продукт будет ${ displaystyle -a}$ скорее, чем ${ displaystyle a}$ , откуда в этом случае ${ displaystyle 1 cdot 2 cdot ... cdot (p-1) Equiv -a ^ { frac {p-1} {2}} ! ! ! { pmod {p}}}$ . Таким образом, рассматривая эти два случая, мы продемонстрировали, что для ${ Displaystyle а не эквив 0 ! ! ! { pmod {p}}}$ у нас есть ${ displaystyle 1 cdot 2 cdot ... cdot (p-1) Equiv - left ({ frac {a} {p}} right) a ^ { frac {p-1} {2 }} ! ! ! { pmod {p}}}$ , Осталось заменить ${ displaystyle a = 1}$ (который, очевидно, является квадратом) в эту формулу, чтобы сразу получить Теорема Вильсона, Критерий Эйлера, и (возводя в квадрат обе части критерия Эйлера) Маленькая теорема Ферма.

Примеры

Пример 1. Поиск простых чисел, для которых а это остаток

Позволять а = 17. Для каких простых чисел п 17 квадратичный вычет?

Мы можем проверить простоту п's вручную по приведенной выше формуле.

В одном случае тестирование п = 3, имеем 17^{(3 − 1)/2} = 17¹ ≡ 2 ≡ −1 (mod 3), поэтому 17 не является квадратичным вычетом по модулю 3.

В другом случае тестирование п = 13, имеем 17^{(13 − 1)/2} = 17⁶ ≡ 1 (mod 13), поэтому 17 является квадратичным вычетом по модулю 13. В качестве подтверждения отметим, что 17 ≡ 4 (mod 13) и 2² = 4.

Мы можем выполнять эти вычисления быстрее, используя различные модульные арифметические свойства и свойства символов Лежандра.

Если мы продолжаем вычислять значения, мы находим:

(17/п) = +1 для п = {13, 19, ...} (17 - квадратичный вычет по модулю этих значений)

(17/п) = −1 для п = {3, 5, 7, 11, 23, ...} (17 не является квадратичным вычетом по модулю этих значений).

Пример 2: Нахождение вычетов по простому модулю п

Какие числа являются квадратами по модулю 17 (квадратичные вычеты по модулю 17)?

Мы можем рассчитать это вручную как:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25 ≡ 8 (мод 17)

6² = 36 ≡ 2 (мод 17)

7² = 49 ≡ 15 (мод 17)

8² = 64 ≡ 13 (мод 17).

Таким образом, набор квадратичных вычетов по модулю 17 равен {1,2,4,8,9,13,15,16}. Обратите внимание, что нам не нужно было вычислять квадраты для значений от 9 до 16, поскольку все они являются отрицательными значениями ранее возведенных в квадрат значений (например, 9 ≡ −8 (mod 17), поэтому 9² ≡ (−8)² = 64 ≡ 13 (мод 17)).

Мы можем найти квадратичные вычеты или проверить их, используя приведенную выше формулу. Чтобы проверить, является ли 2 квадратичным вычетом по модулю 17, мы вычисляем 2^{(17 − 1)/2} = 2⁸ 1 (mod 17), так что это квадратичный вычет. Чтобы проверить, является ли 3 квадратичным вычетом по модулю 17, мы вычисляем 3^{(17 − 1)/2} = 3⁸ ≡ 16 ≡ −1 (mod 17), поэтому это не квадратичный вычет.

Критерий Эйлера связан с Закон квадратичной взаимности.

Приложения

На практике эффективнее использовать расширенный вариант Алгоритм Евклида рассчитать Символ Якоби ${ displaystyle left ({ frac {a} {n}} right)}$ . Если ${ displaystyle n}$ является нечетным простым числом, он равен символу Лежандра и определяет, будет ли ${ displaystyle a}$ квадратичный вычет по модулю ${ displaystyle n}$ .

С другой стороны, поскольку эквивалентность ${ displaystyle a ^ { frac {n-1} {2}}}$ к символу Якоби справедливо для всех нечетных простых чисел, но не обязательно для составных чисел, вычисление обоих и их сравнение может использоваться в качестве проверки простоты, в частности Тест на простоту Соловея-Штрассена. Составные числа, для которых справедливо сравнение для данного ${ displaystyle a}$ называются Псевдопримеры Эйлера – Якоби основать ${ displaystyle a}$ .

Примечания

^ Гаусс, ДА, ст. 106
^ Плотный, Джозеф Б .; Денс, Томас П. (1999). «Теорема 6.4, глава 6. Вычеты». Элементы теории чисел. Harcourt Academic Press. п. 197. ISBN 9780122091308.
^ Леонард Юджин Диксон, "История теории чисел", том 1, стр 205, Chelsea Publishing, 1952
^ Харди и Райт, thm. 83
^ Леммермейер, стр. 4 цитирует две статьи, E134 и E262 в архиве Эйлера.
^ Л. Эйлер, Новые комментарии Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 8, 1760-1, 74; Opusc Anal. 1, 1772, 121; Comm. Ариф, 1, 274, 487

внешняя ссылка

Эйлеров архив

[1] Гаусс, ДА, ст. 106

[2] Плотный, Джозеф Б .; Денс, Томас П. (1999). «Теорема 6.4, глава 6. Вычеты». Элементы теории чисел. Harcourt Academic Press. п. 197. ISBN 9780122091308.

[3] Леонард Юджин Диксон, "История теории чисел", том 1, стр 205, Chelsea Publishing, 1952

[4] Харди и Райт, thm. 83

[5] Леммермейер, стр. 4 цитирует две статьи, E134 и E262 в архиве Эйлера.

[6] Л. Эйлер, Новые комментарии Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 8, 1760-1, 74; Opusc Anal. 1, 1772, 121; Comm. Ариф, 1, 274, 487

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]