Жидкость Гершеля – Балкли - Herschel–Bulkley fluid

В Жидкость Гершеля – Балкли является обобщенной моделью неньютоновская жидкость, в которой напряжение испытываемый жидкостью, связан с стресс сложным, нелинейным способом. Эти отношения характеризуют три параметра: согласованность. k, индекс потока п, а напряжение сдвига текучести ${displaystyle au _ {0}}$ . Консистенция - это простая константа пропорциональности, в то время как индекс потока измеряет степень разжижения или загущения жидкости при сдвиге. Обычная краска является одним из примеров жидкости, разжижающей сдвиг, а Oobleck обеспечивает одну реализацию загущающей сдвиг жидкости. Наконец, предел текучести количественно определяет величину напряжения, которое жидкость может испытать, прежде чем она подойдет и начнет течь.

Эта модель неньютоновской жидкости была предложена Уинслоу Гершелем и Рональдом Балкли в 1926 году.^[1]^[2]

Определение

В конститутивное уравнение модели Гершеля-Балкли обычно записывается как

{displaystyle au = au _ {0} + k {точка {гамма}} ^ {n}}

куда ${displaystyle au}$ это напряжение сдвига, ${displaystyle {dot {gamma}}}$ то скорость сдвига, ${displaystyle au _ {0}}$ предел текучести, ${displaystyle k}$ индекс согласованности и ${displaystyle n}$ индекс потока. Если ${displaystyle au$ жидкость Гершеля-Балкли ведет себя как твердое (недеформируемое) твердое тело, в противном случае она ведет себя как жидкость. За ${displaystyle n <1}$ жидкость разжижается при сдвиге, тогда как для ${displaystyle n> 1}$ жидкость загустевает от сдвига. Если ${displaystyle n = 1}$ и ${displaystyle au _ {0} = 0}$ , эта модель сводится к Ньютоновская жидкость.

Как обобщенная ньютоновская жидкость модели эффективная (или кажущаяся) вязкость определяется как ^[3]

{displaystyle mu _ {operatorname {eff}} = {egin {cases} mu _ {0}, & | {dot {gamma}} | leq {dot {gamma}} _ {0} k | {dot {gamma}} } | ^ {n-1} + au _ {0} | {dot {gamma}} | ^ {- 1}, & | {dot {gamma}} | geq {dot {gamma}} _ {0} end { случаи}}}

Предельная вязкость ${displaystyle mu _ {0}}$ выбирается так, что ${displaystyle mu _ {0} = k {dot {gamma}} _ {0} ^ {n-1} + au _ {0} {dot {gamma}} _ {0} ^ {- 1}}$ . Большая предельная вязкость означает, что жидкость будет течь только в ответ на большую приложенную силу. Эта функция фиксирует Bingham -тип поведения жидкости.

В несжимаемом потоке тензор вязких напряжений дается как вязкость, умноженная на тензор скорости деформации

{displaystyle au _ {ij} = 2mu _ {operatorname {eff}} (| {dot {gamma}} |) E_ {ij} = mu _ {operatorname {eff}} (| {dot {gamma}} |) слева ({frac {partial u_ {i}} {partial x_ {j}}} + {frac {partial u_ {j}} {partial x_ {i}}} ight),}

где величина скорости сдвига определяется выражением

{displaystyle | {точка {гамма}} | = {sqrt {2E_ {ij} E ^ {ij}}}}

.

Величина скорости сдвига равна изотропный приближение, и вместе со вторым инвариантный тензора скорости деформации

{displaystyle II_ {E} = tr (E_ {ij} E ^ {jk}) = E_ {ij} E ^ {ij}}

.

Канальный поток

А схематический диаграмма нагнетательного горизонтального потока. Поток является однонаправленным в направлении градиента давления.

Часто встречающаяся ситуация в экспериментах: давление -приводной канальный поток ^[4] (см. диаграмму). Эта ситуация демонстрирует равновесие, в котором поток существует только в горизонтальном направлении (вдоль направления градиента давления), а градиент давления и вязкие эффекты находятся в равновесии. Затем Уравнения Навье-Стокса вместе с реологический модель сведем к одному уравнению:

Профиль скорости жидкости Гершеля – Балкли для различных показателей потока. п. В каждом случае безразмерное давление равно

{displaystyle pi _ {0} = - 10}

. Непрерывная кривая - для обычной ньютоновской жидкости (Поток Пуазейля ), пунктирная кривая соответствует жидкости, загущающей сдвиг, а пунктирная кривая - жидкости, разжижающей сдвиг.

{displaystyle {frac {partial p} {partial x}} = {frac {partial} {partial z}} left (mu {frac {partial u} {partial z}} ight) ,,, = {egin {cases} mu _ {0} {frac {partial ^ {2} u} {partial {z} ^ {2}}}, & left | {frac {partial u} {partial z}} ight |

Чтобы решить это уравнение, необходимо обезразмерить задействованные величины. Глубина канала ЧАС выбрана в качестве шкалы длины, средняя скорость V за шкалу скорости, а за шкалу давления - ${displaystyle P_ {0} = левый (V / Hight) ^ {n}}$ . Этот анализ вводит безразмерный градиент давления

${displaystyle pi _ {0} = {frac {H} {P_ {0}}} {frac {partial p} {partial x}},}$

что отрицательно для потока слева направо и числа Бингема:

{displaystyle Bn = {frac {au _ {0}} {k}} left ({frac {H} {V}} ight) ^ {n}.}

Затем область решения разбивается на три части, действительные для отрицательного градиента давления:

Область у нижней стенки, где ${displaystyle partial u / partial z> gamma _ {0}}$ ;
Область в жидком ядре, где ${displaystyle | частичное u / частичное z | <гамма _ {0}}$ ;
Область у верхней стены, где ${displaystyle partial u / partial z <-gamma _ {0}}$ ,

Решение этого уравнения дает профиль скорости:

${displaystyle uleft (zight) = {egin {case} {frac {n} {n + 1}} {frac {1} {pi _ {0}}} left [left (pi _ {0} left (z-z_ {1} ight) + gamma _ {0} ^ {n} ight) ^ {1 + left (1 / night)} - left (-pi _ {0} z_ {1} + gamma _ {0} ^ {n } ight) ^ {1 + left (1 / night)} ight], & zin left [0, z_ {1} ight] {frac {pi _ {0}} {2mu _ {0}}} left (z ^ {2} -zight) + k, & zin left [z_ {1}, z_ {2} ight], {frac {n} {n + 1}} {frac {1} {pi _ {0}}} left [left (-pi _ {0} left (z-z_ {2} ight) + gamma _ {0} ^ {n} ight) ^ {1 + left (1 / night)} - left (-pi _ {0 } left (1-z_ {2} ight) + gamma _ {0} ^ {n} ight) ^ {1 + left (1 / night)} ight], & zin left [z_ {2}, 1ight] end { случаи}}}$

Здесь k константа согласования такая, что ${displaystyle uleft (z_ {1} ight)}$ непрерывно. Профиль уважает противоскользящий условия на границах канала,

{displaystyle u (0) = u (1) = 0,}

Используя те же аргументы непрерывности, показано, что ${displaystyle z_ {1,2} = {frac {1} {2}} pm delta}$ , куда

${displaystyle delta = {frac {gamma _ {0} mu _ {0}} {| pi _ {0} |}} leq {frac {1} {2}}.}$

С ${displaystyle mu _ {0} = gamma _ {0} ^ {n-1} + Bn / gamma _ {0}}$ , для данного ${displaystyle left (gamma _ {0}, Bnight)}$ пара, существует критический градиент давления

${displaystyle | pi _ {0, mathrm {c}} | = 2left (gamma _ {0} + Bnight).}$

Примените любой градиент давления, меньший по величине, чем это критическое значение, и жидкость не будет течь; таким образом очевидна его бингемская природа. Любой градиент давления, превышающий это критическое значение, приведет к потоку. Поток, связанный с жидкостью, разжижающей сдвиг, замедлен по сравнению с потоком, связанным с жидкостью, разжижающей сдвиг.

Расход трубы

За ламинарный поток Чилтон и Стейнсби ^[5] предоставьте следующее уравнение для расчета падения давления. Уравнение требует итеративного решения для извлечения падения давления, так как оно присутствует с обеих сторон уравнения.

{displaystyle {frac {Delta P} {L}} = {frac {4K} {D}} left ({frac {8V} {D}} ight) ^ {n} left ({frac {3n + 1} {4n }} ight) ^ {n} {frac {1} {1-X}} left ({frac {1} {1-aX-bX ^ {2} -cX ^ {3}}} ight) ^ {n} }

{displaystyle X = {frac {4L au _ {y}} {DDelta P}}}

{displaystyle a = {frac {1} {2n + 1}}}

{displaystyle b = {frac {2n} {left (n + 1ight) left (2n + 1ight)}}}

{displaystyle c = {frac {2n ^ {2}} {left (n + 1ight) left (2n + 1ight)}}}

За турбулентный поток Авторы предлагают метод, который требует знания напряжения сдвига стенки, но не предоставляет метод расчета напряжения сдвига стенки. Их процедура расширена в Hathoot. ^[6]

{displaystyle R = {frac {4nho VDleft (1-aX-bX ^ {2} -cX ^ {3} ight)} {mu _ {Wall} left (3n + 1ight)}}}

{displaystyle mu _ {Wall} = au _ {Wall} ^ {1-1 / n} left ({frac {K} {1-X}} ight) ^ {1 / n}}

{displaystyle au _ {Wall} = {frac {DDelta P} {4L}}}

Все единицы - СИ

{displaystyle Delta P}

Падение давления, Па.

{displaystyle L}

Длина трубы, м

{displaystyle D}

Диаметр трубы, м

{displaystyle V}

Средняя скорость жидкости,

{displaystyle m / s}

Чилтон и Стейнсби заявляют, что определение Число Рейнольдса в качестве

{displaystyle Re = {frac {R} {n ^ {2} left (1-Xight) ^ {4}}}}

позволяет стандартный ньютоновский коэффициент трения корреляции, которые будут использоваться.

Затем можно рассчитать перепад давления с учетом подходящей корреляции коэффициента трения. Требуется итерационная процедура, так как падение давления требуется для начала расчетов, а также является их результатом.

Смотрите также

Вязкость

внешняя ссылка

Описание жидкости Гершеля – Балкли; графическое сравнение реологических моделей

[1] Herschel, W.H .; Балкли, Р. (1926), "Konsistenzmessungen von Gummi-Benzollösungen", Kolloid Zeitschrift, 39: 291–300, Дои:10.1007 / BF01432034

[Tang2004-2] Tang, Hansong S .; Калион, Дилхан М. (2004), «Оценка параметров жидкости Гершеля – Балкли при стенковом скольжении с использованием комбинации капиллярных и сжимаемых вискозиметров», Rheologica Acta, 43 (1): 80–88, Дои:10.1007 / s00397-003-0322-у

[3] К. С. Саху, П. Валлури, П. Д. М. Спеллед и О. К. Матар (2007) «Линейная неустойчивость течения в канале под давлением жидкости Ньютона и жидкости Гершеля – Балкли» Phys. Жидкости 19, 122101

[4] Д. Дж. Ачесон «Элементарная механика жидкости» (1990), Оксфорд, стр. 51

[5] Чилтон Р.А. и Стейнсби Р., 1998, "Уравнения потери давления для ламинарного и турбулентного неньютоновского потока в трубе", Журнал гидротехники 124(5) стр. 522 и сл.

[6] Hathoot, HM, 2004, "Минимальные затраты на проектирование трубопроводов, транспортирующих неньютоновские жидкости", Александрийский инженерный журнал, 43(3) 375 - 382

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]