История вариационных принципов в физике - History of variational principles in physics

А вариационный принцип в физике - это альтернативный метод определения состояния или динамики физической системы путем определения ее как экстремума (минимума, максимума или седловой точки) функции или функционала. В этой статье описывается историческое развитие таких принципов.

Вариационные принципы до современное время

Вариационные принципы встречаются среди более ранних идей в геодезия и оптика. В канатные носилки из древний Египет натянутые веревки с шнуром между двумя точками для измерения пути, минимизирующего расстояние разделения, и Клавдий Птолемей, в его География (Кн. 1, гл. 2), подчеркнули, что необходимо исправить «отклонения от прямого курса»; в древняя Греция Евклид заявляет в своем Катоптрика что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равно угол отражения; и Герой Александрии позже показал, что этот путь был кратчайшей длиной и минимальным временем.^[1]

Это было обобщено на преломление к Пьер де Ферма, который в 17 веке уточнил принцип: «свет проходит между двумя заданными точками по пути кратчайшего время"; теперь известный как принцип наименьшего времени или же Принцип Ферма.

Принцип экстремального действия

Кредит на формулировку принцип наименьшего действия обычно дается Пьер Луи Мопертюи, писавший об этом в 1744 г.^[1] и 1746 г.,^[2] хотя истинный приоритет менее ясен, как обсуждается ниже.

Мопертюи чувствовал, что «природа бережлив во всех своих действиях», и применял этот принцип широко: «Законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности такие же, как и наблюдаемые в природе, мы можем восхищаться его применением ко всем. Движение животных, вегетативный рост растений ... являются лишь его следствиями; и зрелище вселенной становится настолько грандиознее, красивее и достойнее своего Создателя, когда известно, что небольшое число законов, установленных наиболее мудро, достаточно для всех движений ". ^[3]

Применительно к физике Мопертюи предположил, что минимизируемая величина является произведением продолжительности (времени) движения внутри системы на "vis viva ", вдвое больше, чем мы сейчас называем кинетической энергией системы.

Леонард Эйлер дал формулировку принципа действия в 1744 году в очень узнаваемых терминах в Additamentum 2 к его «Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes».^[4] Он начинает второй абзац:^[5]

"Сидеть, масса корпоративных проектов ==M, ejusque, dum spatiolum == ds emetitur, celeritas debita altitudini == v; erit Quantitas motus corporis in hoc loco ==

{displaystyle M {sqrt {v}}}

; quae per ipsum spatiolum ds multiplicata, dabit

{displaystyle M, ds {sqrt {v}}}

motum corporis Collectivum в пространстве ds. Iam dico lineam a corpore descriptam ita fore comparatam, ut, inter omnes alias lineas iisdem terminis contentas, сидеть

{displaystyle int Mds {sqrt {v}}}

, seu, ob M constans,

{displaystyle int ds {sqrt {v}}}

минимум ".

Перевод этого отрывка гласит:

"Пусть масса снаряда будет M, и пусть его квадрат скорости, полученный из его высоты, равен

{displaystyle v}

при перемещении на расстояние ds. Тело будет иметь импульс

{displaystyle M {sqrt {v}}}

что при умножении на расстояние ds, дам

{displaystyle Mds {sqrt {v}}}

, проинтегрированный по расстоянию импульс тела ds. Теперь я утверждаю, что кривая, описанная таким образом телом, является кривой (среди всех других кривых, соединяющих те же конечные точки), которая минимизирует

{displaystyle int Mds {sqrt {v}}}

или, при условии, что M постоянно,

{displaystyle int ds {sqrt {v}}}

."

Как утверждает Эйлер, ${displaystyle int Mds {sqrt {v}}}$ представляет собой интеграл количества движения по пройденному расстоянию (обратите внимание, что здесь ${displaystyle v}$ в отличие от обычных обозначений обозначает в квадрате скорость), которая в современных обозначениях равна уменьшенное действие ${displaystyle int p, dq}$ . Таким образом, Эйлер сделал эквивалентное и (по-видимому) независимое утверждение вариационного принципа в том же году, что и Мопертюи, хотя и несколько позже. В довольно общих словах он писал, что «поскольку ткань Вселенной наиболее совершенна и является работой мудрейшего Творца, во Вселенной не происходит ничего такого, в чем не проявляется какое-либо соотношение максимума и минимума». Однако Эйлер не претендовали на приоритет, как показывает следующий эпизод.

Приоритет Мопертюи был оспорен в 1751 году математиком Самуэль Кениг, который утверждал, что его изобрел Готфрид Лейбниц в 1707 году. Несмотря на то, что он похож на многие аргументы Лейбница, сам принцип не был задокументирован в трудах Лейбница. Сам Кёниг показал копировать письма Лейбница 1707 г. Якоб Германн с принципом, но оригинал письмо потеряно. В ходе судебного разбирательства Кениг был обвинен в подделке документов,^[6] и даже король Пруссии вступил в дебаты, защищая Мопертюи, в то время как Вольтер защищал Кениг. Эйлер, вместо того чтобы претендовать на приоритет, был стойким защитником Мопертюи, и сам Эйлер преследовал Кенига за подделку документов перед Берлинской академией 13 апреля 1752 года.^[7] Заявления о подделке документов были пересмотрены 150 лет спустя, и архивные работы C.I. Герхардт в 1898 г.^[8] и В. Кабиц в 1913 г.^[9] обнаружили другие копии письма и три других, цитируемых Кенигом, в Бернулли архивы.

Дальнейшее развитие принципа экстремального действия

Эйлер продолжал писать на эту тему; в его Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748 г.), он назвал величину «усилием». Его выражение лица соответствует тому, что мы сейчас назвали бы потенциальная энергия, так что его утверждение о наименьшем действии в статике эквивалентно принципу, согласно которому система тел в состоянии покоя примет конфигурацию, которая минимизирует полную потенциальную энергию.

Полное значение этого принципа для механики было заявлено Жозеф Луи Лагранж в 1760 г.,^{[нужна цитата ]} хотя вариационный принцип не использовался для вывода уравнений движения почти 75 лет спустя, когда Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 гг. ^[10] применил вариационный принцип к функции ${displaystyle L = T-V}$ чтобы получить то, что сейчас называется Лагранжевы уравнения движения.

Другие формулировки принципа экстремального действия

В 1842 г. Карл Густав Якоби рассмотрел вопрос о том, находит ли вариационный принцип минимумы или другие экстремумы (например, точка перевала ); большая часть его работ была сосредоточена на геодезических на двумерных поверхностях. ^[11] Первые четкие общие заявления были сделаны Марстон Морс в 1920-1930-х гг., ^[12] ведущий к тому, что сейчас известно как Теория Морса. Например, Морс показал, что количество сопряженных точек на траектории равно количеству отрицательных собственных значений во второй вариации лагранжиана.

Другие экстремальные принципы классическая механика были сформулированы, например Принцип наименьшего принуждения Гаусса и его следствие, Принцип наименьшей кривизны Герца.

Вариационные принципы в электромагнетизме

Действие для электромагнетизма:

{displaystyle {mathcal {S}} = - int {frac {1} {4mu _ {0}}}, mathrm {d} ^ {4} x, F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta} -int mathrm { d} ^ {4} x, j ^ {альфа} A_ {альфа}}

Вариационные принципы в теории относительности

В Действие Эйнштейна – Гильберта что порождает вакуум Уравнения поля Эйнштейна является

{displaystyle {mathcal {S}} [g] = {frac {c ^ {4}} {16pi G}} int _ {mathcal {M}} R {sqrt {-g}}, mathrm {d} ^ {4 }Икс}

,

куда ${displaystyle g = det (g_ {alpha eta})}$ это определитель пространства-времени Метрика Лоренца и ${displaystyle R}$ это скалярная кривизна.

Вариационные принципы в квантовой механике

Суммируйте возможные пути, подход Фейнмана. Видеть Формулировка интеграла по путям
Вариационный принцип Дирака-Френкеля

Очевидная телеология?

Хотя математически эквивалентно, существует важный философский разница между дифференциал уравнения движения и их интеграл аналог. Дифференциальные уравнения - это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или в один момент времени. Например, Второй закон Ньютона ${displaystyle F = ma}$ заявляет, что мгновенный сила ${displaystyle F}$ применяется к массе ${displaystyle m}$ производит ускорение ${displaystyle a}$ в то же мгновенное. Напротив, принцип действия не ограничен определенной точкой; скорее, он включает интегралы по интервалу времени и (для полей) расширенной области пространства. Более того, в обычной формулировке классический принципы действия, начальное и конечное состояния системы фиксированы, например,

Учитывая, что частица начинается в позиции ${displaystyle x_ {1}}$ вовремя ${displaystyle t_ {1}}$ и заканчивается на позиции ${displaystyle x_ {2}}$ вовремя ${displaystyle t_ {2}}$ , физическая траектория, соединяющая эти две конечные точки, является экстремумом интеграла действия.

В частности, крепление окончательный государство, кажется, дает принципу действия телеологический характер что исторически было противоречивым. Это очевидное телеология устраняется в квантово-механический вариант принципа действия.