Проиндексированная семья - Indexed family

В математика, а семья, или же индексированная семья, неофициально представляет собой набор объектов, каждый из которых связан с индексом из некоторого набора индексов. Например, семья действительные числа, индексируется набором целые числа представляет собой набор действительных чисел, где заданная функция выбирает для каждого целого числа одно действительное число (возможно, то же самое).

Более формально индексированное семейство - это математическая функция вместе со своим домен ${displaystyle I}$ и изображение ${displaystyle X}$. Часто элементы из набора ${displaystyle X}$ упоминаются как составляющие семью. В этом представлении индексированные семейства интерпретируются как коллекции, а не как функции. Набор ${displaystyle I}$ называется индекс (набор) семьи, и ${displaystyle X}$ это индексированный набор.

Математическое утверждение

Определение. Позволять ${displaystyle I}$ и ${displaystyle X}$ быть наборами и ${displaystyle x}$ а сюръективная функция, так что

${displaystyle {egin {align} xcolon I & o X i & mapsto x_ {i} = x (i), конец {выровнен}}}$

то это устанавливает семейство элементов в ${displaystyle X}$ проиндексировано ${displaystyle I}$, который обозначается ${displaystyle (x_ {i}) _ {iin I}}$ или просто ${displaystyle (x_ {i})}$, когда предполагается, что набор индексов известен. Иногда вместо круглых скобок используются угловые или фигурные скобки, причем последнее может привести к смешению семейств с наборами.

Индексированное семейство можно превратить в набор, рассматривая набор ${displaystyle {mathcal {X}} = {x_ {i}: iin I}}$, то есть изображение я под Икс. Поскольку отображение x не обязательно должно быть инъективный, может существовать ${displaystyle i, jin I}$ с ${displaystyle ieq j}$ такой, что ${displaystyle x_ {i} = x_ {j}}$. Таким образом, ${displaystyle | {mathcal {X}} | leq | I |,}$ где |А| обозначает мощность множества А.

Набор индексов не ограничен счетом, и, конечно, подмножество набора мощности может быть индексировано, что приводит к индексированное семейство наборов. О важных различиях в наборах и семействах см. Ниже.

Примеры

Обозначение индекса

В любое время индексное обозначение используются индексированные объекты, образующие семейство. Например, рассмотрим следующее предложение:

Векторы v₁, ..., v_п линейно независимы.

Здесь (v_я)_{я ∈ {1, ..., п}} обозначает семейство векторов. В я-й вектор v_я имеет смысл только по отношению к этому семейству, так как наборы неупорядочены и нет я-й вектор множества. Более того, линейная независимость определяется только как свойство коллекции; поэтому важно, являются ли эти векторы линейно независимыми как набор или как семейство.

Если мы рассмотрим п = 2 и v₁ = v₂ = (1, 0), набор из них состоит только из одного элемента и линейно независима, но семейство содержит один и тот же элемент дважды и является линейно зависимым.

Матрицы

Предположим, в тексте говорится следующее:

Квадратная матрица А обратима, если и только если ряды А линейно независимы.

Как и в предыдущем примере, важно, чтобы строки А линейно независимы как семья, а не как множество. Например, рассмотрим матрицу

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 1 1 & 1end {bmatrix}}.}$

В набор строк состоит только из одного элемента (1, 1) и линейно независима, но матрица не обратима. В семья of rows содержит два элемента и линейно зависит. Таким образом, оператор верен, если он относится к семейству строк, но неверен, если он относится к набору строк. (Заявление также верно, когда «строки» интерпретируются как относящиеся к мультимножество, в котором элементы также сохраняются отдельными, но в котором отсутствует часть структуры индексированного семейства.)

Функции, наборы и семейства

Сюръективный функции и семейства формально эквивалентны, как любая функция ж с домен я побуждает семью (ж(я))_я∈я. Однако на практике семья рассматривается как совокупность, а не как функция: элемент семьи эквивалентно нахождению в диапазоне соответствующей функции. Семья содержит любой элемент ровно один раз, если и только если соответствующая функция инъективный.

Как набор, семья - это контейнер и любой набор Икс рождает семью (Икс_Икс)_{Икс∈Икс}. Таким образом, любой набор естественным образом становится семьей. Для любой семьи (А_я)_я∈я есть набор всех элементов {А_я | я∈я}, но он не несет никакой информации о множественном включении или структуре, заданной я. Следовательно, при использовании набора вместо семейства некоторая информация может быть потеряна.

Примеры

Позволять п - конечное множество {1, 2, ..., п}, куда п положительный целое число.

• An упорядоченная пара семейство, индексируемое набором из двух элементов 2 = {1, 2}.
• An н-кортеж это семья, индексированная п.
• Бесконечный последовательность это семья, индексированная натуральные числа.
• А список является н-кортеж для неуказанного п, или бесконечная последовательность.
• An п×м матрица это семья, индексированная декартово произведение п×м.
• А сеть это семья, индексированная направленный набор.

Операции над семьями

Наборы индексов часто используются в суммах и других подобных операциях. Например, если (а_я)_я∈я - семейство чисел, сумма всех этих чисел обозначается

${displaystyle sum _ {iin I} a_ {i}.}$

Когда (А_я)_я∈я это семейство наборов, то союз всех этих множеств обозначается

${displaystyle igcup _ {iin I} A_ {i}.}$

Аналогично для перекрестки и декартовы продукты.

Подсемейство

Семья (B_я)_я∈J это подсемейство семьи (А_я)_я∈я, если и только если J это подмножество я и для всех я в J

B_я = А_я

Использование в теории категорий

Аналогичная концепция в теория категорий называется диаграмма. Диаграмма - это функтор порождая индексированное семейство объектов в категория C, проиндексировано другой категорией J, и связанные морфизмы в зависимости от двух показателей.

Смотрите также

• Последовательность
• Копродукт
• Несвязный союз
• Tagged union
• Обозначение индекса
• Тип данных массива
• Сеть (математика)
• Диаграмма (теория категорий)
• Параметрическая семья

Рекомендации

• Математическое общество Японии, Энциклопедический математический словарь, 2-е издание, 2 тома, Kiyosi It 么 (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Цитируется как EDM (том).