Целостно закрытый домен - Integrally closed domain

В коммутативная алгебра, интегрально замкнутая область А является область целостности чей целостное закрытие в его поле дробей является А сам. Прописано, это означает, что если Икс является элементом поля дробей А который является корнем монический многочлен с коэффициентами в А, тогда Икс сам по себе является элементом А. Многие хорошо изученные области интегрально замкнуты: поля, кольцо целых чисел Z, уникальные домены факторизации и регулярные местные кольца все целиком замкнуты.

Обратите внимание, что интегрально замкнутые области появляются в следующей цепочке классные включения:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ целостные области ⊃ целозамкнутые области ⊃ GCD домены ⊃ уникальные домены факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ Евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Основные свойства

Позволять А - целозамкнутая область с полем дробей K и разреши L быть расширение поля из K. потом Икс∈L является интеграл над А если и только если это алгебраический над K и это минимальный многочлен над K имеет коэффициенты в А.^[1] В частности, это означает, что любой элемент L интеграл над А является корнем монического многочлена от А[Икс] то есть несводимый в K[Икс].

Если А это домен, содержащийся в поле K, мы можем рассмотреть целостное закрытие из А в K (т.е. совокупность всех элементов K которые являются неотъемлемой частью А). Это интегральное замыкание представляет собой интегрально замкнутую область.

Интегрально замкнутые области также играют роль в гипотезе Теорема о понижении. Теорема утверждает, что если А⊆B является интегральное расширение доменов и А является целозамкнутой областью, то обрушивающееся имущество справедливо для расширения А⊆B.

Примеры

Следующие целые области являются замкнутыми.

А главная идеальная область (в частности: целые числа и любое поле).
А уникальная область факторизации (в частности, любое кольцо полиномов над полем, над целыми числами или над любой уникальной областью факторизации.)
А GCD домен (в частности, любые Безу домен или же область оценки ).
А Дедекиндский домен.
А симметрическая алгебра над полем (поскольку каждая симметрическая алгебра изоморфна кольцу многочленов от нескольких переменных над полем).
Позволять ${displaystyle k}$ поле характеристики не 2 и ${displaystyle S = k [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ кольцо многочленов над ним. Если ${displaystyle f}$ это без квадратов непостоянный многочлен от ${displaystyle S}$ , тогда ${displaystyle S [y] / (y ^ {2} -f)}$ является целозамкнутой областью.^[2] Особенно, ${displaystyle k [x_ {0}, dots, x_ {r}] / (x_ {0} ^ {2} + dots + x_ {r} ^ {2})}$ является целозамкнутой областью, если ${displaystyle rgeq 2}$ .^[3]

Чтобы дать не пример,^[4] позволять k быть полем и ${displaystyle A = k [t ^ {2}, t ^ {3}] подмножество k [t]}$ (А подалгебра, порожденная т² и т³.) А не является целозамкнутым: в нем есть поле дробей ${displaystyle k (t)}$ , а унитарный многочлен ${displaystyle X ^ {2} -t ^ {2}}$ в переменной Икс имеет корень т который находится в области дробей, но не в А. Это связано с тем, что плоская кривая ${displaystyle Y ^ {2} = X ^ {3}}$ имеет необычность в происхождении.

Другая область, которая не является интегрально замкнутой, - это ${displaystyle A = mathbb {Z} [{sqrt {5}}]}$ ; он не содержит элемента ${displaystyle {frac {{sqrt {5}} + 1} {2}}}$ своего поля частных, удовлетворяющего приведенному полиному ${displaystyle X ^ {2} -X-1 = 0}$ .

Нетерова интегрально замкнутая область

Для нётерского локального домена А размерности один следующие эквивалентны.

А целиком замкнуто.
Максимальный идеал А является основным.
А это кольцо дискретной оценки (эквивалентно А это Дедекинд.)
А регулярное локальное кольцо.

Позволять А - нётерова область целостности. потом А целозамкнуто тогда и только тогда, когда (i) А является пересечением всех локализаций ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ над главными идеалами ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ высоты 1 и (ii) локализация ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ в высшем идеале ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ высоты 1 - дискретное оценочное кольцо.

Нётеровское кольцо - это Krull домен тогда и только тогда, когда это целиком замкнутая область.

В нётеровой ситуации мы имеем следующее: область целостности интегрально замкнута тогда и только тогда, когда она является пересечением всех оценочные кольца содержащий его.

Нормальные кольца

Авторы, включая Серр, Гротендик, а Мацумура определяют нормальное кольцо быть кольцом, чье локализации в простых идеалах - целозамкнутые области. Такое кольцо обязательно уменьшенное кольцо,^[5] и это иногда включается в определение. В общем, если А это Нётерян кольцо, локализациями которого в максимальных идеалах являются все области, то А - конечное произведение областей.^[6] В частности, если А является нётеровым нормальным кольцом, то области в произведении являются целозамкнутыми областями.^[7] Наоборот, любое конечное произведение целозамкнутых областей нормально. В частности, если ${displaystyle operatorname {Spec} (A)}$ нётерский, нормальный и связанный, тогда А является целозамкнутой областью. (ср. гладкий сорт )

Позволять А быть нётеровым кольцом. Потом (Критерий Серра ) А нормален тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему: для любого простого идеала ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ ,

(i) Если ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ имеет высоту ${displaystyle leq 1}$ , тогда ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ является обычный (т.е. ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ это кольцо дискретной оценки.)
(ii) Если ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ имеет высоту ${displaystyle geq 2}$ , тогда ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ имеет глубину ${displaystyle geq 2}$ .^[8]

Пункт (i) часто выражается как «правильный в коразмерности 1». Примечание (i) подразумевает, что набор связанные простые числа ${displaystyle Ass (A)}$ не имеет встроенные простые числа, и, когда (i) имеет место, (ii) означает, что ${displaystyle Ass (A / fA)}$ не имеет вложенного простого числа для любого ненулевого делителя ж. В частности, Кольцо Коэна-Маколея удовлетворяет (ii). Геометрически мы имеем следующее: если Икс это локальное полное пересечение в неособой разновидности;^[9] например., Икс само по себе неособое, то Икс Коэн-Маколей; то есть стебли ${displaystyle {mathcal {O}} _ {p}}$ структурного пучка Коэна-Маколея для всех простых идеалов p. Тогда мы можем сказать: Икс является нормальный (т.е. все стебли его структурного пучка нормальны) тогда и только тогда, когда он регулярен в коразмерности 1.

Полностью целозамкнутые области

Позволять А быть доменом и K его поле дробей. Элемент Икс в K как говорят почти целиком над А если подкольцо А[Икс] из K создано А и Икс это дробный идеал из А; то есть, если есть ${displaystyle deq 0}$ такой, что ${displaystyle dx ^ {n} в A}$ для всех ${displaystyle ngeq 0}$ . потом А как говорят полностью закрытый если каждый почти неотъемлемый элемент K содержится в А. Полностью замкнутая область интегрально замкнута. Наоборот, нетерова целозамкнутая область полностью интегрально замкнута.

Предполагать А полностью закрыто. Тогда кольцо формальных степенных рядов ${displaystyle A [[X]]}$ полностью закрыто.^[10] Это важно, поскольку аналог неверен для интегрально замкнутой области: пусть р - область оценки высотой не менее 2 (интегрально замкнутая). Тогда ${displaystyle R [[X]]}$ не является целиком замкнутым.^[11] Позволять L быть расширением поля K. Тогда интегральное замыкание А в L полностью закрыто.^[12]

Область целостности полностью интегрально замкнута тогда и только тогда, когда моноид делителей А это группа.^[13]

Смотрите также: Krull домен.

«Целостно закрытые» под постройки

Следующие условия эквивалентны для области целостности А:

А целиком замкнуто;
А_п (локализация А относительно п) интегрально замкнуто для каждого главный идеал п;
А_м интегрально замкнуто для каждого максимальный идеал м.

1 → 2 следует сразу из сохранения целостного замыкания при локализации; 2 → 3 тривиально; 3 → 1 следует из сохранения интегрального замыкания при локализации, точность локализации, и свойство, которое А-модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда его локализация относительно каждого максимального идеала равна нулю.

Напротив, «интегрально замкнутый» не переходит через частное для Z[т] / (т²+4) не является целиком замкнутым.

Локализация полностью замкнутого объекта не обязательно должна быть полностью замкнутой.^[14]

Прямым пределом целозамкнутых областей является целозамкнутая область.

Модули над целозамкнутой областью

Позволять А - нётерова целозамкнутая область.

Идеальный я из А является делительный если и только если каждый связанный премьер из А/я имеет высоту один.^[15]

Позволять п обозначим множество всех простых идеалов в А высоты один. Если Т является конечно порожденным торсионным модулем, можно положить:

{displaystyle chi (T) = sum _ {pin P} имя оператора {длина} _ {p} (T) p}

,

что имеет смысл как формальная сумма; т. е. дивизор. Мы пишем ${displaystyle c (d)}$ для класса дивизоров d. Если ${displaystyle F, F '}$ являются максимальными подмодулями M, тогда ${displaystyle c (chi (M / F)) = c (chi (M / F '))}$ ^[16] и ${displaystyle c (chi (M / F))}$ обозначается (у Бурбаки) через ${displaystyle c (M)}$ .