Теорема Кельвина о циркуляции - Википедия - Kelvins circulation theorem

В механика жидкости, Теорема циркуляции Кельвина (названный в честь Уильям Томсон, первый барон Кельвин кто опубликовал его в 1869 году) заявляет В баротропный идеальная жидкость с консервативными телесными силами обращение вокруг замкнутой кривой (которая включает в себя те же элементы жидкости) движение с жидкостью остается постоянным во времени.[1][2] Формулируется математически:

куда это обращение по контуру материала . Проще говоря, эта теорема гласит, что если кто-то наблюдает за замкнутым контуром в один момент и прослеживает контур во времени (отслеживая движение всех его жидких элементов), циркуляция по двум точкам этого контура будет равной.

Эта теорема не верна в случаях с вязкими напряжениями, неконсервативными объемными силами (например, сила Кориолиса ) или небаротропные зависимости давления от плотности.

Математическое доказательство

Тираж вокруг замкнутого контура материала определяется:

куда ты - вектор скорости, а ds - элемент по замкнутому контуру.

Основное уравнение для невязкой жидкости с консервативной объемной силой имеет вид

где D / Dт это конвективная производная, ρ плотность жидкости, п это давление и Φ потенциал для силы тела. Это уравнения Эйлера с объемной силой.

Условие баротропности подразумевает, что плотность является функцией только давления, т.е. .

Взяв конвективную производную циркуляции, получаем

Для первого члена мы подставляем из основного уравнения, а затем применяем Теорема Стокса, таким образом:

Окончательное равенство возникает, поскольку вследствие баротропности. Мы также использовали тот факт, что ротор любого градиента обязательно равен 0 или для любой функции .

Для второго члена отметим, что эволюция элемента материальной линии определяется выражением

Следовательно

Последнее равенство получается применением градиентная теорема.

Поскольку оба члена равны нулю, получаем результат

Теорема Пуанкаре – Бьеркнеса о циркуляции

Аналогичный принцип, сохраняющий величину, может быть получен и для вращающейся системы отсчета, известный как теорема Пуанкаре – Бьеркнеса, названная в честь Анри Пуанкаре и Вильгельм Бьеркнес, выведший инвариант в 1893 г.[3][4] и 1898 г.[5][6] Теорема может быть применена к вращающейся системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью, задаваемой вектором , для модифицированного тиража

Здесь - положение области жидкости. Из Теорема Стокса, это:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кац, Плоткин: Низкоскоростная аэродинамика
  2. ^ Кунду, П. и Коэн, И.: Механика жидкости, стр. 130. Academic Press 2002
  3. ^ Пуанкаре, Х. (1893). Теория турбийонов: подвеска Leçons Professées le deuxième semestre 1891-92 (Vol. 11). Готье-Виллар. Статья 158.
  4. ^ Трусделл, К. (2018). Кинематика завихренности. Courier Dover Publications.
  5. ^ Бьеркнес В., Рубенсон Р. и Линдстедт А. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. Кунгл. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner.
  6. ^ Чандрасекхар, С. (2013). Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость. Курьерская корпорация.