Ядро (линейная алгебра) - Kernel (linear algebra)

В математика, более конкретно в линейная алгебра и функциональный анализ, то ядро из линейное отображение, также известный как пустое пространство или же пустое пространство, это набор векторов в домен отображения, которые отображаются в нулевой вектор.^[1][2] То есть, учитывая линейную карту L : V → W между двумя векторные пространства V и W, ядро L это набор всех элементов v из V для которого L(v) = 0, куда 0 обозначает нулевой вектор в W,^[3] или более символично:

${ displaystyle ker (L) = left { mathbf {v} in V mid L ( mathbf {v}) = mathbf {0} right } { text {.}}}$

Характеристики

Ядро и изображение карты L.

Ядро L это линейное подпространство домена V.^[4][3]В линейной карте L : V → W, два элемента V имеют то же самое изображение в W тогда и только тогда, когда их различие заключается в ядре L:

${ Displaystyle L ( mathbf {v} _ {1}) = L ( mathbf {v} _ {2}) ; Leftrightarrow ; L ( mathbf {v} _ {1} - mathbf {v } _ {2}) = mathbf {0} { text {.}}}$

Отсюда следует, что образ L является изоморфный к частное из V ядром:

${ Displaystyle mathop { mathrm {им}} (L) cong V / ker (L) { text {.}}}$

В случае, когда V является конечномерный, это означает теорема ранга-недействительности:

${ displaystyle dim ( ker L) + dim ( mathop { mathrm {im}} L) = dim (V) { text {.}} ,}$

Посредством чего классифицировать мы имеем в виду размерность изображения L, и по ничтожность ядро L.^[5]

Когда V является внутреннее пространство продукта, частное V / кер (L) можно отождествить с ортогональное дополнение в V кер (L). Это обобщение линейных операторов пространство строки, или совместное изображение матрицы.

Приложение к модулям

Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмы из модули, которые являются обобщениями векторных пространств, в которых скаляры являются элементами звенеть, а не поле. Область отображения - это модуль с ядром, составляющим подмодуль. Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы.

В функциональном анализе

Если V и W находятся топологические векторные пространства такой, что W конечномерно, то линейный оператор L: V → W является непрерывный тогда и только тогда, когда ядро L это закрыто подпространство V.

Представление как матричное умножение

Рассмотрим линейную карту в виде м × п матрица А с коэффициентами в поле K (обычно ${ Displaystyle mathbb {R}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {C}}$), который работает с векторами-столбцами Икс с п компоненты над KЯдром этого линейного отображения является множество решений уравнения АИкс = 0, куда 0 понимается как нулевой вектор. В измерение ядра А называется ничтожность из А. В обозначение построителя множеств,

${ displaystyle operatorname {N} (A) = operatorname {Null} (A) = operatorname {ker} (A) = left { mathbf {x} in K ^ {n} | A mathbf {x} = mathbf {0} right }.}$

Матричное уравнение эквивалентно однородному система линейных уравнений:

${ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {0} ; ; Leftrightarrow ; ; { begin {alignat} {7} a_ {11} x_ {1} && ; + ; && a_ { 12} x_ {2} && ; + ; cdots ; + ; && a_ {1n} x_ {n} && ; = ; &&& 0 a_ {21} x_ {1} && ; + ; && a_ {22} x_ {2} && ; + ; cdots ; + ; && a_ {2n} x_ {n} && ; = ; &&& 0 vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&&& ; vdots a_ {m1} x_ {1} && ; + ; && a_ {m2} x_ {2} && ; + ; cdots ; + ; && a_ {mn} x_ {n} && ; = ; &&& 0 { text {.}} конец {выровнено}}}$

Таким образом, ядро А совпадает с решением, заданным вышеупомянутым однородным уравнением.

Свойства подпространства

Ядро м × п матрица А над полем K это линейное подпространство из K^п. То есть ядро А, множество Null (А), имеет следующие три свойства:

1. Ноль(А) всегда содержит нулевой вектор, поскольку А0 = 0.
2. Если Икс ∈ Null (А) и у ∈ Null (А), тогда Икс + у ∈ Null (А). Это следует из дистрибутивности матричного умножения над сложением.
3. Если Икс ∈ Null (А) и c это скаляр c ∈ K, тогда cИкс ∈ Null (А), поскольку А(cИкс) = c(АИкс) = c0 = 0.

Строковое пространство матрицы

Продукт АИкс можно записать в терминах скалярное произведение векторов следующим образом:

${ Displaystyle A mathbf {x} = { begin {bmatrix} mathbf {a} _ {1} cdot mathbf {x} mathbf {a} _ {2} cdot mathbf {x} vdots mathbf {a} _ {m} cdot mathbf {x} end {bmatrix}}.}$

Здесь, а₁, ... , а_м обозначим строки матрицы А. Следует, что Икс находится в ядре А, если и только если Икс является ортогональный (или перпендикулярно) каждому из векторов-строк А (поскольку ортогональность определяется как скалярное произведение, равное 0).

В пространство строки, или соизображение, матрицы А это охватывать векторов-строк А. По приведенным выше рассуждениям ядро А это ортогональное дополнение в пространство строки. То есть вектор Икс лежит в основе А, тогда и только тогда, когда он перпендикулярен каждому вектору в пространстве строк А.

Размер строки А называется классифицировать из А, а размерность ядра А называется ничтожность из А. Эти величины связаны соотношением теорема ранга-недействительности

${ displaystyle operatorname {rank} (A) + operatorname {nullity} (A) = n.}$^[5]

Левое пустое пространство

В оставил пустое пространство, или же коядро, матрицы А состоит из всех векторов-столбцов Икс такой, что Икс^ТА = 0^Т, где T обозначает транспонировать матрицы. Левое пустое пространство А такое же, как ядро А^Т. Левое пустое пространство А является ортогональным дополнением к пространство столбца из А, и двойственен коядро связанного линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое пустое пространство А являются четыре фундаментальных подпространства связанный с матрицей А.

Неоднородные системы линейных уравнений.

Ядро также играет роль в решении неоднородной системы линейных уравнений:

${ Displaystyle A mathbf {x} = mathbf {b} ; ; ; ; ; ; { text {или}} ; ; ; ; ; ; { begin { выровнено} {7} a_ {11} x_ {1} && ; + ; && a_ {12} x_ {2} && ; + ; cdots ; + ; && a_ {1n} x_ {n} && ; = ; &&& b_ {1} a_ {21} x_ {1} && ; + ; && a_ {22} x_ {2} && ; + ; cdots ; + ; && a_ {2n} x_ {n} && ; = ; &&& b_ {2} vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&&& ; vdots a_ { m1} x_ {1} && ; + ; && a_ {m2} x_ {2} && ; + ; cdots ; + ; && a_ {mn} x_ {n} && ; = ; &&& b_ {m } конец {выровненный}}}$

Если ты и v два возможных решения вышеуказанного уравнения, то

${ Displaystyle A ( mathbf {u} - mathbf {v}) = A mathbf {u} -A mathbf {v} = mathbf {b} - mathbf {b} = mathbf {0} ,}$

Таким образом, разность любых двух решений уравнения АИкс = б лежит в основе А.

Отсюда следует, что любое решение уравнения АИкс = б можно выразить как сумму фиксированного решения v и произвольный элемент ядра. То есть решение, заданное уравнению АИкс = б является

${ displaystyle left { mathbf {v} + mathbf {x} mid A mathbf {v} = mathbf {b} land mathbf {x} in operatorname {Null} (A) верно},}$

С геометрической точки зрения это означает, что решение установлено на АИкс = б это перевод ядра А по вектору v. Смотрите также Альтернатива Фредгольма и плоский (геометрия).

Иллюстрация

Ниже приводится простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже для методов, более подходящих для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.

Рассмотрим матрицу

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} , , , 2 & 3 & 5 - 4 & 2 & 3 end {bmatrix}}.}$

Ядро этой матрицы состоит из всех векторов (Икс, у, z) ∈ р³ для которого

${ displaystyle { begin {bmatrix} , , , 2 & 3 & 5 - 4 & 2 & 3 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = { begin { bmatrix} 0 0 end {bmatrix}},}$

который можно выразить как однородный система линейных уравнений с участием Икс, у, и z:

${ displaystyle { begin {alignat} {7} 2x && ; + ; && 3y && ; + ; && 5z && ; = ; && 0, - 4x && ; + ; && 2y && ; + ; && 3z && ; = ; && 0, конец {выровненный}}}$

Те же линейные уравнения могут быть записаны в матричной форме как:

${ displaystyle left [{ begin {array} {ccc | c} 2 & 3 & 5 & 0 - 4 & 2 & 3 & 0 end {array}} right].}$

Через Исключение Гаусса – Жордана, матрицу можно свести к:

${ displaystyle left [{ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 1/16 & 0 0 & 1 & 13/8 & 0 end {array}} right].}$

Переписывая матрицу в виде уравнения, получаем:

${ displaystyle { begin {alignat} {7} x = ; && - { frac {1} {16}} z , , , y = ; && - { frac {13} { 8}} z. End {alignat}}}$

Элементы ядра могут быть дополнительно выражены в параметрической форме следующим образом:

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = c { begin {bmatrix} -1/16 - 13/8 1 end {bmatrix}} quad ({ text {где}} c in mathbb {R})}$

С c это свободная переменная начиная со всех действительных чисел, это может быть выражено одинаково хорошо:

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = c { begin {bmatrix} -1 - 26 16 end {bmatrix}}.}$

Ядро А является в точности решением этих уравнений (в данном случае a линия через происхождение в р³). Здесь, поскольку вектор (−1, −26,16)^Т представляет собой основа ядра А. ничтожность А равно 1.

Следующие скалярные произведения равны нулю:

${ displaystyle left [{ begin {array} {ccc} 2 & 3 & 5 end {array}} right] cdot { begin {bmatrix} -1 - 26 16 end {bmatrix}} = 0 quad mathrm {и} quad left [{ begin {array} {ccc} -4 & 2 & 3 end {array}} right] cdot { begin {bmatrix} -1 - 26 16 конец {bmatrix}} = 0 mathrm {,}}$

который показывает, что векторы в ядре матрицы A ортогональны каждому из векторов-строк матрицы A.

Эти два (линейно независимых) вектора-строки охватывают пространство строк А- плоскость, ортогональная вектору (−1, −26,16)^Т.

2 ранга А, недействительность 1 из А, а размерность 3 А, у нас есть иллюстрация теоремы о ранговой нули.

Примеры

• Если L: р^м → р^п, то ядро L является решением, заданным для однородного система линейных уравнений. Как на иллюстрации выше, если L это оператор:

${ displaystyle L (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (2x_ {1} + 3x_ {2} + 5x_ {3}, ; - 4x_ {1} + 2x_ {2} + 3x_ {3})}$

тогда ядро L - множество решений уравнений

${ displaystyle { begin {alignat} {7} 2x_ {1} & ; + ; & 3x_ {2} & ; + ; & 5x_ {3} & ; = ; & 0 - 4x_ {1} & ; + ; & 2x_ {2} & ; + ; & 3x_ {3} & ; = ; & 0 end {alignat}}}$

• Позволять C[0,1] обозначают векторное пространство всех непрерывных действительных функций на отрезке [0,1], и определим L: C[0,1] → р по правилу

${ Displaystyle L (е) = е (0,3) { текст {.}} ,}$

Тогда ядро L состоит из всех функций ж ∈ C[0,1], для которого ж(0.3) = 0.

• Позволять C^∞(р) - векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций р → р, и разреши D: C^∞(р) → C^∞(р) быть оператор дифференцирования:

${ displaystyle D (f) = { frac {df} {dx}} { text {.}}}$

Тогда ядро D состоит из всех функций в C^∞(р), производные которого равны нулю, т. е. множество всех постоянные функции.

• Позволять р^∞ быть прямой продукт бесконечно много копий р, и разреши s: р^∞ → р^∞ быть оператор смены

${ displaystyle s (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, ldots) = (x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, ldots) { текст{.}}}$

Тогда ядро s - одномерное подпространство, состоящее из всех векторов (Икс₁, 0, 0, ...).

• Если V является внутреннее пространство продукта и W является подпространством, ядро ортогональная проекция V → W это ортогональное дополнение к W в V.

Вычисление методом исключения Гаусса

А основа ядра матрицы может быть вычислено Гауссово исключение.

Для этого, учитывая м × п матрица А, строим сначала строку расширенная матрица ${ displaystyle left [{ begin {array} {c} A hline I end {array}} right],}$ куда я это п × п единичная матрица.

Вычисляя его форма колонны эшелона методом исключения Гаусса (или любым другим подходящим методом) получаем матрицу ${ displaystyle left [{ begin {array} {c} B hline C end {array}} right].}$ Основа ядра А состоит из ненулевых столбцов C такой, что соответствующий столбец B это нулевой столбец.

Фактически, вычисление может быть остановлено, как только верхняя матрица находится в форме эшелона столбцов: оставшаяся часть вычислений состоит в изменении базиса векторного пространства, генерируемого столбцами, верхняя часть которых равна нулю.

Например, предположим, что

${ Displaystyle A = left [{ begin {array} {cccccc} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 & -8 0 & 1 & 5 & 0 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 7 & -9 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} , right].}$

потом

${ displaystyle left [{ begin {array} {c} A hline I end {array}} right] = left [{ begin {array} {cccccc} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 & -8 0 & 1 & 5 & 0 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 7 & -9 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1$

Помещение верхней части в эшелонированную форму столбцов с помощью операций с столбцами для всей матрицы дает

${ displaystyle left [{ begin {array} {c} B hline C end {array}} right] = left [{ begin {array} {cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 hline 1 & 0 & 0 & 3 & -2 & 8 0 & 1 & 0 & -5 & 1 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -7 & 9 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & end {0}.$

Последние три столбца B нулевые столбцы. Следовательно, три последних вектора C,

${ Displaystyle left [! ! { begin {array} {r} 3 - 5 1 0 0 0 end {array}} right], ; left [! ! { begin {array} {r} -2 1 0 - 7 1 0 end {array}} right], ; left [! ! { begin {array} {r} 8 - 4 0 9 0 1 end {array}} right]}$

являются основой ядра А.

Доказательство того, что метод вычисляет ядро: поскольку операции со столбцами соответствуют постумножению на обратимые матрицы, тот факт, что ${ displaystyle left [{ begin {array} {c} A hline I end {array}} right]}$ сводится к ${ displaystyle left [{ begin {array} {c} B hline C end {array}} right]}$ означает, что существует обратимая матрица ${ displaystyle P}$ такой, что ${ displaystyle left [{ begin {array} {c} A hline I end {array}} right] P = left [{ begin {array} {c} B hline C end {array}} right],}$ с ${ displaystyle B}$ в виде колонного эшелона. Таким образом ${ displaystyle AP = B,}$ ${ Displaystyle IP = C,}$ и ${ Displaystyle AC = B.}$ Вектор-столбец ${ displaystyle v}$ принадлежит ядру ${ displaystyle A}$ (то есть ${ displaystyle Av = 0}$) тогда и только ${ displaystyle Bw = 0,}$ куда ${ displaystyle w = P ^ {- 1} v = C ^ {- 1} v.}$ В качестве ${ displaystyle B}$ находится в форме эшелона колонны, ${ displaystyle Bw = 0,}$ тогда и только тогда, когда ненулевые элементы ${ displaystyle w}$ соответствуют нулевым столбцам ${ displaystyle B.}$ Умножая на ${ displaystyle C}$, можно сделать вывод, что это так, если и только если ${ displaystyle v = Cw}$ является линейной комбинацией соответствующих столбцов ${ displaystyle C.}$

Численный расчет

Проблема вычисления ядра на компьютере зависит от характера коэффициентов.

Точные коэффициенты

Если коэффициенты матрицы - это точно заданные числа, форма колонны эшелона матрицы может быть вычислено Алгоритм Барейса более эффективно, чем с исключением Гаусса. Еще эффективнее использовать модульная арифметика и Китайская теорема об остатках, что сводит проблему к нескольким аналогичным по конечные поля (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительная сложность целочисленного умножения).^{[нужна цитата ]}

Для коэффициентов в конечном поле метод исключения Гаусса работает хорошо, но для больших матриц, которые встречаются в криптография и Основа Грёбнера вычислений известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно такие же вычислительная сложность, но работают быстрее и лучше работают с современными компьютерное железо.^{[нужна цитата ]}

Вычисление с плавающей запятой

Для матриц с элементами числа с плавающей запятой, задача вычисления ядра имеет смысл только для таких матриц, в которых количество строк равно их рангу: из-за ошибки округления, матрица с плавающей запятой почти всегда имеет полный ранг, даже если это аппроксимация матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для полноранговой матрицы можно вычислить ее ядро, только если она хорошо кондиционированный, т.е. имеет низкий номер условия.^{[6][нужна цитата ]}

Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга исключение Гаусса ведет себя неправильно: оно приводит к ошибкам округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро ​​может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, предназначенных для решения однородных систем. Современное программное обеспечение для этой цели - Lapack библиотека.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Примечания и ссылки

Библиография

• Акслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0.
• Лэй, Дэвид С. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7.
• Мейер, Карл Д. (2001), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинал 31 октября 2009 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  0-534-99845-3.
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International.
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл.
• Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра. Springer. ISBN  9780387964126.
• Trefethen, Lloyd N .; Бау, Дэвид III (1997), Числовая линейная алгебра, СИАМ, ISBN  978-0-89871-361-9.

внешняя ссылка

• «Ядро матрицы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Ханская академия, Введение в нулевое пространство матрицы