Метод дополненной волны проектора - Projector augmented wave method

В метод дополненной волны проектора (PAW) - это метод, используемый в ab initio расчеты электронной структуры. Это обобщение псевдопотенциал и линейные методы дополненных плоских волн, и позволяет теория функционала плотности вычисления должны выполняться с большей вычислительной эффективностью.^[1]

Валентность волновые функции имеют тенденцию иметь быстрые колебания вблизи ионных остовов из-за требования, чтобы они были ортогональны остовным состояниям; Эта ситуация проблематична, потому что для точного описания волновых функций требуется много компонентов Фурье (или, в случае методов на основе сеток, очень мелкая сетка). Подход PAW решает эту проблему, преобразуя эти быстро осциллирующие волновые функции в гладкие волновые функции, которые более удобны с точки зрения вычислений, и обеспечивает способ расчета полностью электронных свойств на основе этих гладких волновых функций. Этот подход чем-то напоминает изменение от Картина Шредингера к Картинка Гейзенберга.

Преобразование волновой функции

В линейное преобразование ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ преобразует фиктивную псевдоволновую функцию ${ displaystyle | { тильда { Psi}} rangle}$ к полностью электронной волновой функции ${ displaystyle | Psi rangle}$ :

{ displaystyle | Psi rangle = { mathcal {T}} | { tilde { Psi}} rangle}

Обратите внимание, что волновая функция «все электроны» является одночастичной волновой функцией Кона – Шэма, и ее не следует путать с волновой функцией многих тел. Чтобы иметь ${ displaystyle | { тильда { Psi}} rangle}$ и ${ displaystyle | Psi rangle}$ отличаются только в областях вблизи ионных остовов, запишем

{ displaystyle { mathcal {T}} = 1+ sum _ {R} { hat { mathcal {T}}} _ {R}}

,

куда ${ displaystyle { hat { mathcal {T}}} _ {R}}$ отличен от нуля только в пределах некоторой сферической области увеличения ${ displaystyle Omega _ {R}}$ вмещающий атом ${ displaystyle R}$ .

Вокруг каждого атома полезно разложить псевдоволновую функцию на псевдопарциальные волны:

{ displaystyle | { tilde { Psi}} rangle = sum _ {i} | { tilde { phi}} _ {i} rangle c_ {i}}

в

{ displaystyle Omega _ {R}}

.

Потому что оператор ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ линейна, коэффициенты ${ displaystyle c_ {i}}$ можно записать как внутренний продукт с набором так называемых функций проектора, ${ displaystyle | p_ {i} rangle}$ :

{ displaystyle c_ {i} = langle p_ {i} | { tilde { Psi}} rangle}

куда ${ displaystyle langle p_ {i} | { tilde { phi}} _ {j} rangle = delta _ {ij}}$ . Полностью электронные парциальные волны, ${ displaystyle | phi _ {i} rangle = { mathcal {T}} | { tilde { phi}} _ {i} rangle}$ , обычно выбираются как решения уравнения Кона – Шэма-Шредингера для изолированного атома. Преобразование ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ таким образом определяется тремя величинами:

набор полностью электронных парциальных волн ${ displaystyle | phi _ {i} rangle}$
набор псевдопарциальных волн ${ displaystyle | { тильда { phi}} _ {i} rangle}$
набор функций проектора ${ displaystyle | p_ {i} rangle}$

и мы можем явно записать это как

{ displaystyle { mathcal {T}} = 1+ sum _ {i} left (| phi _ {i} rangle - | { tilde { phi}} _ {i} rangle right) langle p_ {i} |}

Вне областей аугментации псевдопарциальные волны равны полностью электронным парциальным волнам. Внутри сфер они могут быть любым гладким продолжением, например, линейной комбинацией многочленов или Функции Бесселя.

Метод PAW обычно сочетается с приближением замороженного остова, в котором предполагается, что на остовные состояния не влияет окружение иона. Существует несколько онлайн-репозиториев предварительно вычисленных атомарных данных PAW.^[2]^[3]^[4]

Операторы преобразования

Преобразование PAW позволяет вычислять все электронные наблюдаемые с использованием псевдоволновой функции из расчета псевдопотенциала, что позволяет избежать необходимости когда-либо явно представлять полностью электронную волновую функцию в памяти. Это особенно важно для расчета таких свойств, как ЯМР,^[5] которые сильно зависят от вида волновой функции вблизи ядра. Начнем с определения математического ожидания оператора:

{ displaystyle a_ {i} = langle Psi | { hat {A}} | Psi rangle}

,

где вы можете заменить псевдоволновую функцию, как вы знаете ${ displaystyle | Psi rangle = { mathcal {T}} | { tilde { Psi}} rangle}$ :

{ displaystyle a_ {i} = langle { tilde { Psi}} | { mathcal {T}} ^ { dagger} { hat {A}} { mathcal {T}} | { tilde { Psi}} rangle}

,

из которого вы можете определить псевдооператор, обозначается тильдой:

{ displaystyle { tilde {A}} = { mathcal {T}} ^ { dagger} { hat {A}} { mathcal {T}}}

.

Если оператор ${ displaystyle { hat {A}}}$ является локальным и хорошо управляемым, мы можем расширить его, используя определение ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ чтобы преобразовать оператор PAW:

{ displaystyle { tilde {A}} = { hat {A}} + sum _ {i, j} | p_ {i} rangle left ( langle phi _ {i} | { hat { A}} | phi _ {j} rangle - langle { tilde { phi}} _ {i} | { hat {A}} | { tilde { phi}} _ {j} rangle right) langle p_ {j} |}

.

Где индексы ${ displaystyle i, j}$ пробежать все проекторы по всем атомам. Обычно суммируются только индексы одного и того же атома, т.е. сторонние вклады игнорируются, и это называется «локальным приближением».

В исходной статье Блехль отмечает, что в этом уравнении есть степень свободы для произвольного оператора ${ displaystyle { hat {B}}}$ , который локализован внутри области сферического увеличения, чтобы добавить член вида:

{ displaystyle { hat {B}} - sum _ {i, j} | p_ {i} rangle langle { tilde { phi}} _ {i} | { hat {B}} | { tilde { phi}} _ {j} rangle langle p_ {j} |}

,

что можно рассматривать как основу для реализации псевдопотенциалов внутри PAW, поскольку ядерный кулоновский потенциал теперь можно заменить более гладким.

дальнейшее чтение

Ростгаард, Карстен (2010). «Проекторный метод дополненных волн». arXiv:0910.1921в2 [cond-mat.mtrl-sci ]. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | версия = (помощь)
Kresse, G .; Жубер, Д. (1999). «От сверхмягких псевдопотенциалов к методу дополненных волн проектора». Физический обзор B. 59 (3): 1758–1775. Bibcode:1999PhRvB..59.1758K. Дои:10.1103 / PhysRevB.59.1758.
Даль Корсо, Андреа (11 августа 2010 г.). «Метод проекционных расширенных волн: приложение к релятивистской теории функционала спиновой плотности». Физический обзор B. 82 (7): 075116. Bibcode:2010PhRvB..82g5116D. Дои:10.1103 / PhysRevB.82.075116.

Метод дополненной волны проектора - Projector augmented wave method

Содержание

Преобразование волновой функции

Операторы преобразования

дальнейшее чтение

Программное обеспечение, реализующее метод дополненной волны проектора

Рекомендации