Серия многосекционная - Series multisection

В математике многосекционный силовой серии - это новый степенной ряд состоит из равноотстоящих терминов, извлеченных без изменений из исходной серии. Формально, если дан степенной ряд

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} cdot z ^ {n}}

то его многосекция представляет собой степенной ряд вида

{ Displaystyle сумма _ {м = - infty} ^ { infty} a_ {qm + p} cdot z ^ {qm + p}}

куда п, q являются целыми числами, 0 ≤ п < q.

Мультисекция аналитических функций

Мультисекция серии аналитическая функция

{ displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} cdot z ^ {n}}

имеет выражение в закрытой форме с точки зрения функции ${ displaystyle f (x)}$ :

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} a_ {qm + p} cdot z ^ {qm + p} = { frac {1} {q}} cdot sum _ {k = 0} ^ {q-1} omega ^ {- kp} cdot f ( omega ^ {k} cdot z),}

куда ${ displaystyle omega = e ^ { frac {2 pi i} {q}}}$ это примитивный q-й корень из единства. Это решение было впервые обнаружено Томас Симпсон.^[1] Это выражение особенно полезно, поскольку оно может преобразовать бесконечную сумму в конечную сумму. Он используется, например, на ключевом этапе стандартного доказательства Теорема Гаусса о дигамме, который дает решение в замкнутой форме для функции дигаммы, вычисленной при рациональных значениях п/q.

Примеры

Пополам

В общем, деления ряда пополам - это четный и нечетный части сериала.

Геометрическая серия

Рассмотрим геометрическая серия

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} = { frac {1} {1-z}} quad { text {for}} | z | <1.}

Установив ${ displaystyle z rightarrow z ^ {q}}$ в приведенной выше серии ее мультисекции легко увидеть

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} z ^ {qm + p} = { frac {z ^ {p}} {1-z ^ {q}}} quad { text { для}} | z | <1.}

Помня, что сумма мультисекций должна быть равна исходному ряду, мы восстанавливаем знакомую идентичность

{ displaystyle sum _ {p = 0} ^ {q-1} z ^ {p} = { frac {1-z ^ {q}} {1-z}}.}

Экспоненциальная функция

{ displaystyle e ^ {z} = sum _ {n = 0} ^ { infty} {z ^ {n} over n!}}

с помощью приведенной выше формулы для аналитических функций разделяется на

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {qm + p} over (qm + p)!} = { frac {1} {q}} cdot sum _ { k = 0} ^ {q-1} omega ^ {- kp} e ^ { omega ^ {k} z}.}

Пополам тривиально гиперболические функции:

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {2m} over (2m)!} = { frac {1} {2}} left (e ^ {z} + e ^ {- z} right) = cosh {z}}

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {2m + 1} over (2m + 1)!} = { frac {1} {2}} left (e ^ { z} -e ^ {- z} right) = sinh {z}.}

Мультисекции более высокого порядка находятся с учетом того, что все такие ряды должны иметь действительные значения вдоль вещественной линии. Взяв действительную часть и используя стандартные тригонометрические тождества, формулы могут быть записаны в явно вещественной форме как

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {qm + p} over (qm + p)!} = { frac {1} {q}} cdot sum _ { k = 0} ^ {q-1} e ^ {z cos (2 pi k / q)} cos { left (z sin { left ({ frac {2 pi k} {q}) } right)} - ​​{ frac {2 pi kp} {q}} right)}.}

Их можно рассматривать как решения линейное дифференциальное уравнение ${ Displaystyle е ^ {(д)} (г) = е (г)}$ с граничные условия ${ displaystyle f ^ {(k)} (0) = delta _ {k, p}}$ , с помощью Дельта Кронекера обозначение. В частности, трисекции