Сквирмер - Squirmer

Сферический микроплавец в потоке Стокса

В сквирт модель сферического микроплавателя, плавающего в Стокса поток. Модель Сквирмера была введена Джеймс Лайтхилл в 1952 году и усовершенствован и использован для моделирования Парамеций Джона Блейка в 1971 году.^[1][2]Блейк использовал модель сквирмера для описания потока, создаваемого ковром из бьющихся коротких нитей, который называется реснички на поверхности Paramecium. Сегодня сквирмер - это стандартная модель для изучения самоходные частицы, Такие как Частицы Януса, в потоке Стокса.^[3]

Поле скорости в кадре частицы

Здесь мы даем поле течения сквирмера в случае недеформируемого осесимметричный сферический сквирмер (радиус ${ displaystyle R}$).^[1][2] Эти выражения приведены в сферическая система координат.

${ displaystyle u_ {r} (r, theta) = { frac {2} {3}} left ({ frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} - 1 right) B_ {1} P_ {1} ( cos theta) + sum _ {n = 2} ^ { infty} left ({ frac {R ^ {n + 2}} {r ^ {n + 2 }}} - { frac {R ^ {n}} {r ^ {n}}} right) B_ {n} P_ {n} ( cos theta) ;,}$
${ displaystyle u _ { theta} (r, theta) = { frac {2} {3}} left ({ frac {R ^ {3}} {2r ^ {3}}} + 1 right ) B_ {1} V_ {1} ( cos theta) + sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {1} {2}} left (n { frac {R ^ { n + 2}} {r ^ {n + 2}}} + (2-n) { frac {R ^ {n}} {r ^ {n}}} right) B_ {n} V_ {n} ( соз тета) ;.}$

Здесь ${ displaystyle B_ {n}}$ - постоянные коэффициенты, ${ Displaystyle P_ {п} ( соз тета)}$ находятся Полиномы Лежандра, и ${ displaystyle V_ {n} ( cos theta) = { frac {-2} {n (n + 1)}} partial _ { theta} P_ {n} ( cos theta)}$.
Один находит ${ displaystyle P_ {1} ( cos theta) = cos theta, P_ {2} ( cos theta) = { tfrac {1} {2}} (3 cos ^ {2} theta -1), точки, V_ {1} ( cos theta) = sin theta, V_ {2} ( cos theta) = { tfrac {1} {2}} sin 2 theta, точки}$.
Вышеупомянутые выражения относятся к движущейся частице. На интерфейсе можно найти ${ displaystyle u _ { theta} (R, theta) = sum _ {n = 1} ^ { infty} B_ {n} V_ {n}}$ и ${ displaystyle u_ {r} (R, theta) = 0}$.

Шейкер, ${ displaystyle beta = - infty}$	Толкатель, ${ displaystyle beta = -5}$	Нейтральный, ${ displaystyle beta = 0}$	Съемник, ${ displaystyle beta = 5}$	Шейкер, ${ Displaystyle бета = infty}$	Пассивная частица
Шейкер, ${ displaystyle beta = - infty}$	Толкатель, ${ displaystyle beta = -5}$	Нейтральный, ${ displaystyle beta = 0}$	Съемник, ${ displaystyle beta = 5}$	Шейкер, ${ Displaystyle бета = infty}$	Пассивная частица
Поле скоростей сквирмера и пассивной частицы (верхний ряд: лабораторная рамка, нижний ряд: рамка пловца)

Скорость плавания и лабораторный корпус

Используя Взаимная теорема Лоренца., находится вектор скорости частицы ${ Displaystyle mathbf {U} = - { tfrac {1} {2}} int mathbf {u} (R, theta) sin theta mathrm {d} theta = { tfrac {2 } {3}} Б_ {1} mathbf {e} _ {z}}$. Поток в фиксированной лабораторной раме определяется выражением ${ Displaystyle mathbf {u} ^ {L} = mathbf {u} + mathbf {U}}$:

${ displaystyle u_ {r} ^ {L} (r, theta) = { frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} UP_ {1} ( cos theta) + sum _ {n = 2} ^ { infty} left ({ frac {R ^ {n + 2}} {r ^ {n + 2}}} - { frac {R ^ {n}} {r ^ { n}}} right) B_ {n} P_ {n} ( cos theta) ;,}$
${ displaystyle u _ { theta} ^ {L} (r, theta) = { frac {R ^ {3}} {2r ^ {3}}} UV_ {1} ( cos theta) + sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {1} {2}} left (n { frac {R ^ {n + 2}} {r ^ {n + 2}}} + (2 -n) { frac {R ^ {n}} {r ^ {n}}} right) B_ {n} V_ {n} ( cos theta) ;.}$

со скоростью плавания ${ Displaystyle U = | mathbf {U} |}$. Обратите внимание, что ${ displaystyle lim _ {r rightarrow infty} mathbf {u} ^ {L} = 0}$ и ${ Displaystyle и_ {г} ^ {L} (Р, тета) neq 0}$.

Структура потока и параметр сквирмера

Приведенные выше серии часто обрезаются до ${ displaystyle n = 2}$ при исследовании потока в дальней зоне, ${ displaystyle r gg R}$. В этом приближении ${ displaystyle u _ { theta} (R, theta) = B_ {1} sin theta + { tfrac {1} {2}} B_ {2} sin 2 theta}$, с параметром squirmer ${ Displaystyle бета = B_ {2} / | B_ {1} |}$. Первый режим ${ Displaystyle п = 1}$ характеризует диполь гидродинамического источника с затуханием ${ displaystyle propto 1 / r ^ {3}}$ (и с этим скорость плавания ${ displaystyle U}$). Второй режим ${ displaystyle n = 2}$ соответствует гидродинамическому стресслет или силовой диполь с затуханием ${ displaystyle propto 1 / r ^ {2}}$.^[4] Таким образом, ${ displaystyle beta}$ дает соотношение обоих вкладов и направление силового диполя. ${ displaystyle beta}$ используется для разделения микропловцов на толкачей, пулеров и нейтральных пловцов.^[5]

Тип пловца	толкатель	нейтральный пловец	съемник	шейкер	пассивная частица
Параметр Squirmer	${ Displaystyle бета <0}$	${ displaystyle beta = 0}$	${ displaystyle beta> 0}$	${ displaystyle beta = pm infty}$
Затухание скорости в дальнем поле	${ displaystyle mathbf {u} propto 1 / r ^ {2}}$	${ displaystyle mathbf {u} propto 1 / r ^ {3}}$	${ displaystyle mathbf {u} propto 1 / r ^ {2}}$	${ displaystyle mathbf {u} propto 1 / r ^ {2}}$	${ displaystyle mathbf {u} propto 1 / r}$
Биологический пример	E.Coli	Парамеций	Chlamydomonas reinhardtii

На рисунках выше показано поле скорости в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета с фиксированными частицами. Гидродинамические дипольные и квадрупольные поля модели сквирмера являются результатом поверхностных напряжений из-за ударов ресничек бактерий, химических реакций или теплового неравновесия на частицах Януса. Сквирмер не требует усилия. Напротив, поле скоростей пассивной частицы является результатом действия внешней силы, ее дальнее поле соответствует «стокслету» или гидродинамическому монополю. Бессиловая пассивная частица не движется и не создает никакого поля потока.

Рекомендации