Подсчетчик - Subquotient

в математический поля теория категорий и абстрактная алгебра, а подчастный это частный объект из подобъект. Подквотенты особенно важны в абелевы категории, И в теория групп, где они также известны как разделы, хотя это противоречит другому значению в теория категорий.

В литературе о спорадических группах встречаются формулировки типа «${ displaystyle H}$ участвует в ${ displaystyle G}$»^[1] можно найти с очевидным значением «${ displaystyle H}$ является частью ${ displaystyle G}$».

Например, из 26 спорадические группы, 20 частей группа монстров называются «Счастливая семья», а оставшиеся 6 - «группы изгоев ".

Факторное представление субпредставления представления (скажем, группы) можно было бы назвать представлением субфотора; например., Хариш-Чандра Теорема о субфакторах.^[2]

В конструктивном теория множеств, где закон исключенного среднего не обязательно выполняется, можно рассмотреть соотношение подфактор как замена обычного отношение порядка (s) на кардиналы. Когда есть закон исключенного третьего, то подфактор ${ displaystyle X}$ из ${ displaystyle Y}$ либо пустой набор или есть функция on ${ displaystyle Y to X}$. Это отношение порядка традиционно обозначается ${ displaystyle leq ^ { ast}}$. Если дополнительно аксиома выбора держит, то ${ displaystyle X}$ имеет индивидуальную функцию для ${ displaystyle Y}$ и это отношение порядка является обычным ${ displaystyle leq}$ по соответствующим кардиналам.

Отношение заказа

Соотношение подфактор является отношение порядка.

Доказательства транзитивность для групп

Позволять ${ displaystyle H '/ H' '}$ быть частью ${ displaystyle H}$, более того ${ displaystyle H: = G '/ G' '}$ быть частью ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle varphi двоеточие G ' to H}$ быть канонический гомоморфизм. Тогда все вертикальные (${ displaystyle downarrow}$) карты ${ Displaystyle varphi двоеточие X к Y, ; g mapsto g , G ''}$

${ displaystyle G}$	${ displaystyle geq}$	${ displaystyle G '}$	${ displaystyle geq}$	${ displaystyle varphi ^ {- 1} (H ')}$	${ displaystyle geq}$	${ displaystyle varphi ^ {- 1} (H '')}$	${ displaystyle vartriangleright}$	${ displaystyle G ''}$
	${ displaystyle varphi !:}$	${ displaystyle { Big downarrow}}$		${ displaystyle { Big downarrow}}$		${ displaystyle { Big downarrow}}$		${ displaystyle { Big downarrow}}$
		${ displaystyle H}$	${ displaystyle geq}$	${ displaystyle H '}$	${ displaystyle vartriangleright}$	${ displaystyle H ''}$	${ displaystyle vartriangleright}$	${ displaystyle {1 }}$

с подходящим ${ displaystyle g in X}$ находятся сюръективный для соответствующих пар

${ Displaystyle (X, Y) ; ; ; in}$

${ Displaystyle { Bigl {} { bigl (} G ', H { bigr)} { Bigr.}}$

${ displaystyle,}$

${ displaystyle { bigl (} phi ^ {- 1} (H '), H' { bigr)}}$

${ displaystyle,}$

${ displaystyle { bigl (} phi ^ {- 1} (H ''), H '' { bigr)}}$

${ displaystyle,}$

${ displaystyle { Bigl.} { bigl (} G '', {1 } { bigr)} { Bigr }}.}$

Прообразы ${ displaystyle varphi ^ {- 1} left (H ' right)}$ и ${ displaystyle varphi ^ {- 1} left (H '' right)}$ обе подгруппы ${ displaystyle G '}$ содержащий ${ Displaystyle G '',}$ и это ${ Displaystyle varphi left ( varphi ^ {- 1} left (H ' right) right) = H'}$ и ${ Displaystyle varphi left ( varphi ^ {- 1} left (H '' right) right) = H ''}$, потому что каждый ${ displaystyle h in H}$ имеет прообраз ${ displaystyle g in G '}$ с участием ${ displaystyle varphi (g) = h}$. Кроме того, подгруппа ${ displaystyle varphi ^ {- 1} left (H '' right)}$ нормально в ${ displaystyle varphi ^ {- 1} left (H ' right).}$.

Как следствие, подфактор ${ displaystyle H '/ H' '}$ из ${ displaystyle H}$ является частью ${ displaystyle G}$ в виде ${ Displaystyle H '/ H' ' cong varphi ^ {- 1} left (H' right) / varphi ^ {- 1} left (H '' right)}$.

Смотрите также

• Гомологическая алгебра

использованная литература

Эта теория категорий -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

Эта абстрактная алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.