Суперсингулярное простое число (теория самогона) - Википедия - Supersingular prime (moonshine theory)

В математической отрасли теория самогона, а суперсингулярное простое число это простое число который разделяет то порядок из Группа монстров M, что является самым большим спорадическая простая группа. Всего пятнадцать суперсингулярных простых чисел: первые одиннадцать простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, и 31 ), а также 41, 47, 59, и 71. (последовательность A002267 в OEIS )

Несуперсингулярные простые числа: 37, 43, 53, 61, 67, и любое простое число, большее или равное 73.

Суперсингулярные простые числа связаны с понятием суперсингулярные эллиптические кривые следующее. Для простого числа п, следующие эквиваленты:

  1. В модульная кривая Икс0+(п) = Икс0(п) / шп, куда шп это Инволюция Фрике из Икс0(п), имеет род нуль.
  2. Каждая суперсингулярная эллиптическая кривая характеристики п можно определить над основное подполе Fп.
  3. Порядок группы монстров делится на п.

Эквивалентность обусловлена Эндрю Огг. Точнее, в 1975 году Огг показал, что простые числа, удовлетворяющие первому условию, - это в точности 15 суперсингулярных простых чисел, перечисленных выше, и вскоре после этого узнал о (тогда предположительном) существовании спорадической простой группы, имеющей именно эти простые числа в качестве простых делителей. Это странное совпадение положило начало теории чудовищный самогон.

Три несуперсингулярных простых числа встречаются в порядках двух других спорадических простых групп: 37 и 67 делят порядок числа Лионская группа, а 37 и 43 делят порядок четвертая группа Янко. Отсюда сразу следует, что эти двое не подкомпоненты группы монстров (это двое из шести группы изгоев ). Остальные спорадические группы (включая остальных четырех изгоев, а также Группа синицы, если это считать среди спорадиков) имеют порядки только с суперсингулярными простыми делителями. Фактически, кроме Группа Baby Monster, все они имеют порядки, которые делятся только на простые числа, меньшие или равные 31, хотя ни одна спорадическая группа, кроме самого Монстра, не имеет их всех в качестве простых делителей. Суперсингулярное простое число 47 также делит порядок группы Baby Monster, а три других суперсингулярных числа (41, 59 и 71) не делят порядок какой-либо спорадической группы, кроме самого Monster.

Все суперсингулярные простые числа равны Простые числа Чена, но 37, 53 и 67 также являются простыми числами Чена, и существует бесконечно много простых чисел Чена, превышающих 73.

Рекомендации

  • Вайсштейн, Эрик В. «Суперсингулярное простое число». MathWorld.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Спорадическая группа». MathWorld.
  • Огг, А. П. (1980). «Модульные функции». В Куперштейне, Брюс; Мейсон, Джеффри (ред.). Конференция Санта-Крус по конечным группам. Проходил в Калифорнийском университете, Санта-Крус, Калифорния, 25 июня - 20 июля 1979 г.. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 521–532. ISBN  0-8218-1440-0.