Кольцо продукта - Википедия - Product ring

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частного • Кольцо продукта • Свободное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • Терминальное кольцо ${ Displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • Кольцо Jordan • Полукруглый • Полуполе
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Интегральный домен • Целостно закрытый домен • GCD домен • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо серии power Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности п-адический теория чисел и десятичные дроби • Прямой лимит /Обратный предел • Нулевое кольцо ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю пп ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Прюфер п-звенеть ${ Displaystyle mathbb {Z} (р ^ { infty})}$ • Основание -п круг кольцо ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Основание -п целые числа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • п-adic рациональные ${ Displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Основание -п действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ • п-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • п-адические числа ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • п-адический соленоид ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра

В математика, можно комбинировать несколько кольца в один большой кольцо продукта. Это делается путем предоставления Декартово произведение семейства колец (возможно бесконечного) покоординатного сложения и умножения. Полученное кольцо называется прямой продукт оригинальных колец.

Примеры

Важный пример - кольцо Z/пZ из целые числа по модулю п. Если п написано как продукт основной полномочия (см. основная теорема арифметики ),

${ displaystyle n = p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}} cdots p_ {k} ^ {n_ {k}},}$

где п_я различные простые числа, то Z/пZ естественно изоморфный к кольцу продукта

${ Displaystyle mathbf {Z} / p_ {1} ^ {n_ {1}} mathbf {Z} times mathbf {Z} / p_ {2} ^ {n_ {2}} mathbf {Z } times cdots times mathbf {Z} / p_ {k} ^ {n_ {k}} mathbf {Z}.}$

Это следует из Китайская теорема об остатках.

Характеристики

Если р = Π_я∈я р_я является произведением колец, то для каждого я в я у нас есть сюръективный кольцевой гомоморфизм п_я: р → р_я который проецирует продукт на я-я координата. Продукт рвместе с прогнозами п_я, имеет следующие универсальная собственность:

если S любое кольцо и ж_я: S → р_я является гомоморфизмом колец для любого я в я, то существует ровно один кольцевой гомоморфизм ж: S → р такой, что п_я ∘ ж = ж_я для каждого я в я.

Это показывает, что произведение колец является примером продукты в смысле теории категорий.

Когда я конечна, основная аддитивная группа Π_я∈я р_я совпадает с прямая сумма аддитивных групп р_я. В этом случае некоторые авторы называют р "прямая сумма колец р_я" и писать ⊕_я∈я р_я, но это неверно с точки зрения теории категорий, поскольку обычно сопродукт в категории колец: например, когда два или более р_я отличны от нуля, отображение включения р_я → р не отображает 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.

(Конечное копроизведение в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над коммутативным кольцом является тензорное произведение алгебр. Копроизведение в категории алгебр - это свободное произведение алгебр.)

Прямые продукты коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямой продукт.

Если А_я является идеальный из р_я для каждого я в я, тогда А = Π_я∈я А_я это идеал р. Если я конечно, то верно обратное, т. е. любой идеал р имеет такую ​​форму. Однако если я бесконечно и кольца р_я ненулевые, то обратное неверно: множество элементов со всеми, кроме конечного числа ненулевых координат образует идеал, который не является прямым произведением идеалов р_я. Идеал А это главный идеал в р если все, кроме одного из А_я равны р_я а остальные А_я главный идеал в р_я. Однако обратное неверно, когда я бесконечно. Например, прямая сумма из р_я образуют идеал, не содержащийся ни в одном таком А, но аксиома выбора дает, что он содержится в некоторых максимальный идеал который a fortiori основной.

Элемент Икс в р является единицей тогда и только тогда, когда все ее компоненты являются единицами, т. е. тогда и только тогда, когда п_я(Икс) единица в р_я для каждого я в я. Группа единиц р это товар групп подразделений р_я.

Произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля: если Икс является элементом продукта, все координаты которого равны нулю, кроме п_я(Икс), и у является элементом продукта со всеми нулевыми координатами, кроме п_j(у) куда я ≠ j, тогда ху = 0 в кольце продукта.

Смотрите также

• Прямой продукт

Примечания

Рекомендации

• Герштейн, И. (2005) [1968], Некоммутативные кольца (5-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-88385-039-8
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 91, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556, Zbl  0984.00001