Модель Вичека - Википедия - Vicsek model

Модель Вичека - это математическая модель, используемая для описания активного вещества. Один из мотивов изучения активное вещество Физиками связана богатая феноменология, связанная с этой областью. Коллективное движение и роение относятся к числу наиболее изученных явлений. Среди огромного количества моделей, которые были разработаны, чтобы уловить такое поведение с помощью микроскопического описания, самой известной является модель, представленная Тамаш Вичек и другие. в 1995 г.^[1]

Эта модель проявляет большой интерес у физиков, поскольку она минимальна и описывает своего рода универсальность. Он состоит из точечных самоходные частицы которые развиваются с постоянной скоростью и выравнивают свою скорость со скоростью своих соседей в присутствии шума. Такая модель показывает коллективное движение при высокой плотности частиц или низком уровне шума юстировки.

Модель (математическое описание)

Поскольку эта модель стремится быть минимальной, она предполагает, что флокирование происходит из-за комбинации любого вида самодвижения и эффективного выравнивания.

Индивидуальный ${ displaystyle i}$ описывается его положением ${ Displaystyle mathbf {г} _ {я} (т)}$ а угол, определяющий направление его скорости ${ Displaystyle Theta _ {я} (т)}$ вовремя ${ displaystyle t}$. Эволюция одной частицы в дискретном времени задается двумя уравнениями: на каждом временном шаге ${ displaystyle Delta t}$, каждый агент выравнивается со своими соседями на расстоянии ${ displaystyle r}$ с неопределенностью из-за шума ${ Displaystyle eta _ {я} (т)}$ Такие как

${ displaystyle Theta _ {i} (t + Delta t) = langle Theta _ {j} rangle _ {| r_ {i} -r_ {j} |$

и движется с постоянной скоростью ${ displaystyle v}$ в новом направлении:

${ displaystyle mathbf {r} _ {i} (t + Delta t) = mathbf {r} _ {i} (t) + v Delta t { begin {pmatrix} cos Theta _ {i} (t) sin Theta _ {i} (t) end {pmatrix}}}$

Вся модель контролируется тремя параметрами: плотностью частиц, амплитудой шума при юстировке и соотношением пройденного расстояния. ${ displaystyle v Delta t}$ к диапазону взаимодействия ${ displaystyle r}$ . Из этих двух простых правил итераций различные непрерывные теории^[2] были разработаны, например, теория Тонера Ту^[3] описывающая систему на гидродинамическом уровне, была разработана кинетическая теория Энскога, справедливая при произвольной плотности частиц.^[4] Эта теория количественно описывает образование крутых волн плотности, также называемых волнами вторжения, вблизи перехода к коллективному движению.^[5]

Феноменология

Эта модель показывает фазовый переход^[6] от неупорядоченного движения к крупномасштабному упорядоченному движению. При большом шуме или низкой плотности частицы в среднем не выровнены, и их можно описать как неупорядоченный газ. При низком уровне шума и большой плотности частицы глобально выровнены и движутся в одном направлении (коллективное движение ). Это состояние интерпретируется как упорядоченная жидкость. Переход между этими двумя фазами не является непрерывным. фазовая диаграмма системы демонстрирует фазовый переход первого рода с микрофазным разделением. В области сосуществования полосы жидкости конечных размеров^[7] выходят в газовую среду и движутся в поперечном направлении. Недавно была обнаружена новая фаза: полярная упорядоченная Пересечь море фаза волн плотности с заданным углом пересечения ^[8]. Эта спонтанная организация частиц олицетворяет коллективное движение.

Расширения

С момента своего появления в 1995 году эта модель стала очень популярной в физическом сообществе; многие ученые работали над этим и расширяли его. Например, можно выделить несколько классов универсальности из простых аргументов симметрии, касающихся движения частиц и их ориентации.^[9]

Более того, в реальных системах многие параметры могут быть включены для более реалистичного описания, например притяжение и отталкивание между агентами (частицы конечного размера), хемотаксис (биологические системы), память, неидентичные частицы, окружающая жидкость. .

Более простая теория, модель Активного Изинга,^[10] был разработан для облегчения анализа модели Вичека.

Рекомендации